金融经济学第3章组合前沿的数学.ppt

第3章
组合前沿的数学
《金融经济学基础》
本章大纲
偏好与分布
资产组合前沿
资产组合前沿的一些数学性质
1、偏好与分布
一般来说,仅仅用资产组合的预期回报率和预期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假设之后证明,经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为资产组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
对于任意的分布和效用函数,期望效用并不能仅仅由预期收益(率)和方差这两个元素来描述。所以均值-方差分析的运用是存在限制条件的。
用泰勒展开式对均值-方差运用的局限性进行说明
随机变量是经济行为主体在时期1的全部收入或财富,其效用函数在的预期值周围展开可得
其中则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画,而是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。
均值-方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完全刻画,我们必须假定经济行为主体的效用函数是一个二次型效用函数,即经济行为主体的效用函数或以表达为。
此时
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变量的两个中心矩来定义
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻画存在着以下两个主要的缺点:
第一,二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富具有餍足性,即个体收益的总效用存在着极大值,超过这点之后,收益增加的边际效用为负。
第二,递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存在矛盾。
风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形
在任意偏好的情况下,如果三阶及三阶以上高阶矩可以表示为均值和方差的函数,则我们就可以使用均值-方差分析来考察经济行为主体的效用函数。
在正态分布的条件下,前面泰勒展开式的三阶及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩(均值和方差)的函数。因此, 就可以完全地由均值和方差表示。
正态分布对于加法运算保持不变,即多个正态分布变量之和仍为正态分布。
2、资产组合前沿
假定:
1、在一个无摩擦的经济中有种风险资产,这些资产皆可以自由地卖空,并且,所有资产的收益率都具有有限的方差和彼此差异的预期值。
2、任何一种资产的随机收益率都不能由其他资产收益率的线性组合来表示,即这些资产的随机收益率是彼此线性独立的。
在这种假设的经济中,向量表示J 种风险资产的随机收益率。矩阵V表示J 种风险资产收益率的方差—协方差矩阵。
V是非奇异的、对称的。
矩阵V是正定的。
前沿组合
前沿资产组合:如果在所有具有相同预期收益率的资产组合中,这一资产组合具有最小的方差值,则该资产组合就是前沿资产组合。
资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权重wp 是下面二次规划问题的解
. 。
其中:e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量,
表示资产组合的预期回报率,i表示分量为1的N维向量。
构造一个拉格朗日函数, 是以下函数式的解:
(其中, 和是两个正值的常数。)
求解可得

其中

且B>0,C>0,并且可以断定D>0。