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巧用构造法证明不等式
〔关键词〕数学教学;不等式;证明;构造法
〔中图分类号〕 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2013)23—0088—01
一、构造函数法
根据所给不等式的特征,利用函数的性质和函数的图象来证明不等式.
例1 求函数y=的最小值.
分析:把看作一个整体,用字母t来表示,就可以把原函数转化成一个关于字母t的对勾函数,这样就可以利用对勾函数的图象,并结合函数的定义,直观地解决这个问题.
解:令=t,则有y=t+(t≥2).
根据上图可知,当t≥2时,y=t+是增函数,
因此,y=≥, ∴ymin=.
点评:此题用构造函数法直观地解决了求函数值域的问题,达到了将复杂问题简单化的目的.
二、构造方程法
对于形如a≤f(x)≤b的不等式,令y=f(x),将其整理成关于x的二次方程,利用方程有实数解?驻≥0 ,建立关于y的不等式,求解出y的范围,达到证明不等式的目的.
例2 已知实数a、b、c满足a+b+c=0和abc=2,求证:a、b、c中至少有一个不小于2.
分析:针对这个题中出现的有两数和和积的情况,,然后利用一元二次方程根的判别式解决问题.
证明:根据题设知a、b、c中必有一个正数,不妨设a>0,则b+c=-a且bc=,即b、c是二次方程x2+ax+=0的两个实根,故而?驻=a2-≥0,由此得a≥、b、c中至少有一个不小于2.
点评:此方法灵活利用韦达定理和一元二次方程根的判别式,简单明了地解决了问题,达到了事半功倍的效果.
三、构造几何图形法
将不等