量子力学重点题型.doc

量子力学典型计算题
(k为波耳滋慢常数),求T=1K是,氢原子的德布罗意波长.
解由德布罗意波长为:
------------------⑴
----------------------------------------⑵----------⑶
联立⑴⑵⑶式,代入T=1K, ,得:


中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:无关,是定态问题。其定态S—方程

在各区域的具体形式为
Ⅰ:①
Ⅱ:②
Ⅲ:③
由于(1)、(3)方程中,由于,要等式成立,必须


即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
令,得

其解为④
根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得
⑤
⑥
由⑥⑤
⑦
∴
由归一化条件

得
由

⑧
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为

. 证明(-14)式中的归一化常数是
证: (-14)
由归一化,得

∴归一化常数#
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解:


令,得

由的表达式可知,时,。显然不是最大几率的位置。


可见是所求几率最大的位置。#
一维谐振子处在基态,求:
(1)势能的平均值;
(2)动能的平均值;
(3)动量的几率分布函数。
解:(1) 


(2)






或
(3)






动量几率分布函数为

#
,求:
(1)r的平均值;
(2)势能的平均值;
(3)最可几半径;
(4)动能的平均值;
(5)动量的几率分布函数。
解:(1)




(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为



令
当为几率最小位置


∴是最可几半径。
(4)



(5)








动量几率分布函数

一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,L为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:
转子绕一固定轴转动:
转子绕一固定点转动:
解:(1)设该固定轴沿Z轴方向,则有

哈米顿算符
其本征方程为(无关,属定态问题)

令,则

取其解为(可正可负可为零)
由波函数的单值性,应有

即
∴m= 0,±1,±2,…
转子的定态能量为(m= 0,±1,±2,…)
可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。定态波函数为

A为归一化常数,由归一化条件

∴转子的归一化波函数为

综上所述,除m=0外,能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为

无关,属定态问题,其本征方程为

(式中设为的本征函数,为其本征值)

令,则有

此即为角动量的本征方程,其本征值为

其波函数为球谐函数
∴转子的定态能量为

可见,能量是分立的,且是重简并的。
#


求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解:在此能量中,氢原子能量有确定值

角动量平方有确定值为

角动量Z分量的可能值为

其相应的几率分别为
,
其平均值为

设已知在的共同表象中,算符的矩阵分别为

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。
解:的久期方程为