统计学真题参考解答.doc

2008年人大统计学专业课初试题参考解答
一、用中位数来描述家庭收入数据的集中趋势有优点亦有不足。
,不受极端值影响,对偏斜程度较大的顺序或数值型数据代表性较好,所以它能够排除过高收入或过低收入带来的不良影响。
,中位数的应用远不及平均值广泛,中位数只是一组数据中的一个值,因而对整个香港家庭收入信息有较大浪费;而平均值能包含所有收入信息,而且具有优良的数学性质,不过它易受极端值的影响,主要适用于测度偏斜度不大的数据。
,那么低收入的比例一直都是50%,这显然与“比例在增长”相矛盾。
二、方差分析表面上是检验多总体均值是否相等,本质上是研究变量间的关系,即通过各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响,其中需要分析数据变异的来源,所以叫做方差分析。
观察到的数据一般是参差不齐的,我们用SST(总平方和)度量数据总的变异,将它分解为可追溯到来源的部分变异SSE(组内平方和)与SSA(组间平方和)之和,若后者的平均MSA(组间均方)明显比前者的平均MSE(组内均方)大,就认为自变量对因变量有显著影响。在方差分析的基本假定下,上述问题形式上就转化为检验各总体均值是否相等的问题。所谓基本假定就是,各总体服从正态分布;各总体方差相同;各观测值相互独立。
三、有多种预测模型可供选择:

①加法模型:;
②乘法模型:;
③混合模型:,。
其中为时刻的序列值,,,分别表示趋势、季节性、随机波动,下同。

其中为0-1虚拟变量。
3. ARIMA(p,q,d,T)模型(求和自回归移动平均模型)

符号说明
a. 为一阶延迟算子();
b. 为自回归系数多项式;
c. 为移动平均系数多项式;
d. 为阶差分算子,用于消除趋势成分;
e. 为步长为周期的步差分算子,用于消除季节成分。
四、(1)厂家从自身利益出发,当然希望每袋平均重量,这样有利于提高产品销量,于是可以把放在“被保护”的位置,而原假设正具有“被保护”的特性,于是可提出如下检验假设:
(2)从消费者利益出发,我们担心每袋平均重量,如果要我们相信,那么厂家就得拿出充分的证据来证明,所以应放在“不利”的位置,即放在备择假设中,于是有:
(3)在的显著性水平和(2)中的检验假设下,意味着是显著不成立的,即拒绝原假设,我们可以相信厂家所言。
值的含义是当原假设为真时,检验统计量取其实现值以及更极端值的概率,它是检验的真实显著性水平。
(4)这里的区间(,)是一个确定的区间,而食品的实际平均重量要么在其中,要么不在其中,无概率可言。该区间是95%的随机置信区间的一个实现,后者的意思是食品的实际平均重量以95%的概率落入其中。
五、经典多元线性回归模型为
其中是维随机向量,是设计矩阵,是维系数向量,是维随机误差向量。
关于自变量的假设主要有:
。回归分析中的自变量与因变量地位是不等的,其中后者是随机的,这与相关分析二者都是随机的不同。从而自变量与随机误差(以及因变量)也就不相关,保证了回归分析理论的顺利进行。
。这就要求设计矩阵列满秩,进而观测次数(样本量)必须大于自变量个数。该假设保证了的普通最小二乘估计可表示为
并且具有良好的数学性质,更方便了进一步的假设检验和回归分析的实际操作与应用。否则出现多重共线性,就会带来上述诸多方面的麻烦。
六、常见的(概率)抽样方式有①简单随机抽样、②分层抽样、③整群抽样、④多阶段抽样和⑤系统抽样,其中简单随机抽样是最基本的,是其他抽样方式的基础。所谓基本抽样方式,我觉得以不同的标准或不同的思维角度会得出不同的分类方式,比如:
(通常指一阶)看作特殊的二阶段抽样(二阶段抽样比100%),则有①②④⑤四种基本抽样方式。
(一阶段抽样比100%),则有①④⑤三种基本抽样方式。
(每层抽一个单元)或者特殊的整群抽样(只抽一个群),则有①②③④四种基本抽样方式。
七、贝叶斯判别分析的原理是将贝叶斯统计思想用于判别分析。具体说来,设有个总体,分别有密度函数(一般假定总体都服从正态分布,协方差阵都相等,各均值有显著差异),已知出现这个总体的先验概率为。我们希望给出一种判别法,也就是给出空间的一种划分:,当落入时,将其判给,使得在该判别法下所带来的平均损失
达到最小。其中为样品来自而被判给的错判损失,为错判概率。
(1)与聚类分析数据都是