2011年考研数学试题数学一.doc

2011年考研数学试题(数学一)
一、选择题
曲线的拐点是( )
(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0)
【答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由可知分别是的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知,
,,,故(3,0)是一拐点。
设数列单调减少,,无界,则幂级数的收敛域为( ) (A) (-1,1] (B) [-1,1) (C) [0,2) (D)(0,2]
【答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。
【解析】无界,说明幂级数的收敛半径;
单调减少,,说明级数收敛,可知幂级数的收敛半径。
因此,幂级数的收敛半径,收敛区间为。又由于时幂级数收敛,时幂级数发散。可知收敛域为。
设函数具有二阶连续导数,且,,则函数
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件,直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由知,
,
所以,,
要使得函数在点(0,0)处取得极小值,仅需
,
所以有
4、设,则的大小关系是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【考点分析】本题考查定积分的性质,直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【解析】时,,因此
,故选(B)
5. 设为3阶矩阵,将的第二列加到第一列得矩阵,
,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知,,所以,故选(D)
6、设是4阶矩阵,为的伴随矩阵,若是方程组的一个基础解系,则基础解系可为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系,需要综合应用秩,伴随矩阵等方面的知识,有一定的灵活性。
【解析】由的基础解系只有一个知,所以,又由知,都是的解,且的极大线生无关组就是其基础解系,又
,所以线性相关,故或为极大无关组,故应选(D)
7、设为两个分布函数,其相应的概率密度是连续函数,则必为概率密度的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【解析】检验概率密度的性质:;
。可知为概率密度,故选()。
8、设随机变量与相互独立,且与存在,记,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理,有一定的灵活性。
【解析】由于
可知
故应选(B)
二、填空题
9、曲线的弧长=
【答案】【考点分析】本题考查曲线弧长的计算,直接代公式即可。
【解析】
10、微分方程满足条件的解为
【答案】
【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解,再根据定解条件,确定通解中的任意常数。
【解析】原方程的通解为
由,得,故所求解为
11、设函数,则
【答案】
【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】。故。
12、设是柱面方程与平面的交线,从轴正向往轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分
【答案】
【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式,再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线的参数方程为,其中从到。因此
13、若二次曲面的方程为,经正交变换化为,则
【答案】
【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值,通过特征值的相关性质可以解出。
【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为。
该二次型的矩阵为,可知,因此。
14、设二维随机变量服从,则
【答案】
【考点分析】:本题考查二维正态分布的性质。
【解析】:由于,由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。
由于服从,可知,则
。
三、解答题
15、(本题满分10分)求极限
【答案】
【考点分析】:本题考查极限的计算,属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形,再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
【解析】:
16、(本题满分9分)设,其中函数具有二阶连续偏导数,函数可导,且在处取得极值,求
【答案】
【考点分析】:本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考