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定积分在几何上的应用1——求平面图形的面积
:分割、近似、求和、,可根据上面的步骤将所求的量表达成定积分的形式,,有人常用“微元法”这种表达方式,.
用“微元法”解题的基本程式:
(1)选取合适的坐标系,即积分变量的坐标轴,例如x轴,定出其范围:区间[a,b].注意:计算的繁简与坐标的选取有直接关系.
(2)在上述区间内任取一小段[x,x+Δx],x是任意点,增量Δx=dx,dx是自变量的微分.
(3)将所求的量Q在小区间[x,x+Δx]上的值ΔQ表示成如下的形式:
ΔQ=f(x)Δx+0(Δx) ①
0(Δx)表示一个比Δx高阶的无穷小量,当Δx→0视为无穷小量,即
说明 f(x)Δx是Q的增量的线性主要部分,,ΔQ=dQ+0(dx).记ΔQ≈dQ=f(x)dx.≈表示两边的量只相差一个比Δd高阶的无穷小量.
(4)求和:Q=∑ΔQ=∑dQ+∑0(dx)=∑f(x)dx+0(1).其中,0(1)表示

(5)令Δx→0,取极限得:
这里面第(3)步是最关键的,即要求出可求量的微分(或称微元),有了①式后可以直接写出③式,而第(4)、(5)两步均可略去,因此用微元法推导定积分表达式时可以省去书写定义中的和式.
(6)用计算定积分的方法算出③式的值Q.
在下面介绍定积分的应用时,我们将采用微元法这种表达方式将所求的量写成定积分,再进行求解.
我们已知知道,在直角坐标系(x,y)中,由曲线y=f(x)(f(x)≥0,x∈[a,b]),直线x=a,x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积S正是f(x)在[a,b]“f(x)≥0,a≤x≤b”,只有此时,才有
一般平面图形是由若干条曲线段(包括直线段)围成的,,了解图形的大致情况,确定函数f(x)≥0和≤0的部分,并计算出边界曲线段的交点,将其作为相应积分的上限、下限.
例如,由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b)所围图形的面积是

若曲线由极坐标方程r=r(θ)α≤θ≤β给出,则该曲线与射线θ=α,θ=β(α<β)所围成的平面图形面积为
⑦式的推导如下:
如图1,取θ为积分变量,曲线上取一小段,A(r(θ),θ),B=(r(θ)+Δr,θ+Δθ).
扇形OAB的面积与扇形OAC的面积(OC=OA)相差不超过Δr·rΔθ,但Δr=dr+0(dθ)=r'dθ+0((dθ),因此误差是rr'(dθ)2+0((dθ)2)=0(dθ).



由“微元法”可得⑦.
例1 求抛物线y=x2与直线y=x,y=2x所围成图形的面积.
解如图2,它们两两的交点有三个:O,A,B.

得 x=0,x=1,
即交点O(0,0),A(1,1).

即交点O(0,0),B(2,4).
由图可知积分应在[0,1]和[1,2]两段上进行,用⑤式:

例2 求抛物线y2=2x与直线x-y=4所围成图形的面积.
解法1 先求出抛物线与直线的交点:(2,-2),(8,4).
以直线x=2将图形分为两部分,,右半部分为S2.
由对称性,得

由公式⑤得

故所求图形的面积

解法2 取y为积分变量,则可直接用⑤式得到所求面积

(由此例可见坐标的选取能简化计算)
例3 求抛物线y2=x与半圆x2+y2=2(x>0)围成图形的面积.

解法1 由图形关于x轴对称,考虑y≥0部分.



解法2 对取y积分,-1≤y≤1,由⑤式得面积为


解法3 ⑤式得


解由参数方程x=acosθ,y=bsinθ,及椭圆关于x轴、y轴皆对称,易得


请读者试用直角坐标下的积分表达式,进行变量代换计算.
例5 求三叶线r=asin3θ围成图形的面积.
解由r≥0,可知θ的定义域是:

因此该曲线的形状如图5,有三片叶子.
由对称性知三片叶子是全等的,故可用极坐标下的面积公式⑦来计算.
=x3和直线y=2x所围图形的面积.

=2x把圆x2+y2=8分为两部分,