ACM必做50题的解题-数论.doc

poj 1061 青蛙的约会
这题用的是解线性同余方程的方法,之前没接触到过,搜索资料后看到一个人的博客里面讲的很好就拷贝过来了。内容如下:
对于方程:ax≡b(mod m),a,b,m都是整数,求解x 的值,这个就是线性同余方程。
符号说明:
mod表示:取模运算
ax≡b(mod m)表示:(ax - b) mod m = 0,即同余
gcd(a,b)表示:a和b的最大公约数
求解ax≡b(mod n)的原理:对于方程ax≡b(mod n),存在ax + by = gcd(a,b),x,y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x,y来堆砌。具体做法如下:
第一个问题:求解gcd(a,b)
定理一:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
欧几里德算法
int Euclid(int a,int b)
{
if(b == 0)
return a;
else
return Euclid(b,mod(a,b));
}
附:取模运算
int mod(int a,int b)
{
if(a >= 0)
return a % b;
else
return a % b + b;
}
第二个问题:求解ax + by = gcd(a,b)
定理二:ax + by = gcd(a,b)= gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y'
= b * x' + (a - a / b * b) * y'
= a * y' + b * (x' - a / b * y')
= a * x + b * y
则:x = y'
y = x' - a / b * y'
以上内容转自hi./redcastle/blog/item/
由这个可以得出扩展的欧几里德算法:
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
代码:
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
__int64 mm,nn,xx,yy,l;
__int64 c,d,x,y;
__int64 modd(__int64 a, __int64 b)
{
if(a>=0)
return a%b;
else
return a%b+b;
}
__int64 exGcd(__int64 a, __int64 b)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
__int64 r=exGcd(b, a%b);
__int64 t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
int main()
{
scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&xx,&yy,&mm,&nn,&l);
if(mm>nn) //分情况
{
d=exGcd(mm-nn,l);
c=yy-xx;
}
else
{
d=exGcd(nn-mm,l);
c=xx-yy;
}
if(c%d != 0)
{
printf("Impossible\n");
return 0;
}
l=l/d;
x=modd(x*c/d,l); ///取模函数要注意
printf("%I64d\n",x);

system("pause");
return 0;
}
POJ 1142 SmithNumber
题意:寻找最接近而且大于给定的数字的SmithNumber
什么是SmithNumber?
用sum(int)表示一个int的各位的和,那一个数i如果是SmithNumber,则sum(i) = sigma( sum(Pj )),Pj表示i的第j个质因数。例如4937775= 3*5*5*65837,4+9+3+7+7+7+5 = 42,3+5+5+(6+5+8+3+7) = 42,所以4937775是SmithNumber。
思路:要寻找