初四复****研讨会 ——解直角三角形
梧台中学张文超
运用三角函数的定义解题
锐角三角函数定义是在直角三角形中给出的,它反映的是直角三角形相应两边的比值的特性,我们在解题的过程中,如果能恰当地利用这一点,有时会起到简化过程作用。
例1:如图1,在△ABC中,已知BC= ,∠B=60º,∠C=45º,求AB的长。
分析:可以过A点作BC的垂线交于D点,构造直角三角形,再根据三角函数定义及特殊角的三角函数值,得出AD与BD的比值为,可设BD=k,AD= k,再有AD=DC,得k+ k= ,求得k值,进而求得AB的长。
点评:求线段的长,若线段不处在直角三角形中,常通过作垂线构造直角三角形,结合三角函数定义求解。
例2:如图2,在△ABC中,∠ACB=90º,SinB= ,D是BC上一点,DE⊥AB于E,CD=DE,AC+CD=9。求BE的长。
分析:由SinB= = = ,可设DE= CD=3k,DB=5k,则BC=8k,AC=6k,AB=10 k。再由AC+CD=9,可求出各边的长。在Rt△BDE中,根据勾股定理求出BE的长。
点评:在直角三角形中,已知某一三角函数值,可利用其比值设比例系数为k,把某些线段用k的代数式表示,再结合已知条件求出k的值,也即求出了要求线段的长,这是这类题目常用的方法。
巧记特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值有着广泛的应用,要求大家必须熟记,为了帮助记忆,可采用下面的方法.
1、图示法:借助于下面三个图形来记忆,即使有所遗忘也可根据图形重新推出:
sin30°=cos60°= ,sin45°=cos45°=
tan30°= , tan 45°=1 。
30˚
1
2
1
45˚
1
1
2
60˚
锐角三角函数的求值策略
一、准确根据三角函数的概念求值
例1、△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,已知b=3,c= ,求sinA的值.
解:如图,在Rt△ABC中,根据勾股定理可得: = ,∴
点评:在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函数值时,都须准确根据三角函数的概念来进行,决不能张冠李戴.
A
B
C
a
b
c
二、运用参数法求三角函数值
例2、在△ABC中,∠C=90°,如果,那么sinB的值等于( )
A. B. C. D.
解:如图,根据题意可设BC=5k,AC=12k,则,∴,故本题应选B.
点评:由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值,所以有时需将三角函数转化为线段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式来表示出直角三角形各边长,然后结合相关条件解决问题。
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