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102二重积分计算(1).ppt

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定义:
将区域 D 任意分割成 n 个小区域
任取一点
作积
若存在,称f(x,y)在D上可积.
记作
是定义在有界区域 D上的有界函数,
取极限
求和
§
其极限值,称为f(x,y)在D上的二重积分.
即
三、二重积分的性质
( a、b 为常数)
为D 的面积, 则
(有和定积分完全对应的性质)
假定下列性质中出现的二重积分存在
则
4. 若在D上
5. 设
D 的面积为,
则有
推论
6.(二重积分的中值定理)
在闭区域D上
为D 的面积,
则至少存在一点
使
连续,
性质7. 设函数
D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
在 D 上
在闭区域上连续,
域D 关于x 轴对称,
则
则
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
(关于y为偶函数)

其中D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
§ 二重积分的计算法
第十章
曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为X –型区域
任取
平面x=x0截柱体的
故曲顶柱体体积为
截面积为
为第二次积分的
被积函数的因子
(曲边梯形的面积)
同样, 若曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
为第二次积分的被积函数的因子
Y –型区域
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X –型区域
则
若D为Y –型区域
则
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域,
则
(根据被积函数)

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