选择题1-8小题,每小题4分,共32分.doc

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(2)设是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则是
(A)连续的奇函数. (B)连续的偶函数
(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数. ( )
(3)设函数可微,,则等于( )
(A). (B)
(C) (D)
(4)函数满足的一个微分方程是[ ]
(A) (B)
(C) (D)
(5)设为连续函数,则等于()
(A). (B).
(C) . (D) .
(6)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是()
(A) 若,则.
(B) 若,则.
(C) 若,则.
(D) 若,则.
(7)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是[ ]
若线性相关,则线性相关.
若线性相关,则线性无关.
(C) 若线性无关,则线性相关.
(D) 若线性无关,则线性无关.

(8)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则()
(A). (B).
(C). (D).

(9)曲线的水平渐近线方程为
(10)设函数在处连续,则
(11)广义积分.
(12) 微分方程的通解是
(13)设函数由方程确定,则
(14)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则
.
三、解答题:15-23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
试确定的值,使得
,
其中是当时比高阶的无穷小.
(16)(本题满分10分)
求.
(17)(本题满分10分)
设区域, 计算二重积分
(18)(本题满分12分)
设数列满足
(Ⅰ)证明存在,并求该极限;
(Ⅱ)计算.
(19)(本题满分10分)
证明:当时,
.
(20)(本题满分12分)
设函数在内具有二阶导数,且满足等式
.
(I)验证;
(II)若,求函数的表达式.
(21)(本题满分12分)
已知曲线L的方程
(I)讨论L的凹凸性;
(II)过点引L的切线,求切点,并写出切线的方程;
(III)求此切线与L(对应于的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.
(22)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵的秩;
(Ⅱ)求的值及方程组的通解.
(23)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.
(Ⅰ) 求的特征值与特征向量;
(Ⅱ) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.
答案
1. A【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,
,故应选(A).
【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时,:
因为,所以单调增加,即,又,
则,即.
定义一般教科书均有,类似例题见《数学复****指南》(理工类)【】,【1(3)】.
2. B【分析】由于题设条件含有抽象函数,本题最简便的方法是用赋值法求解,即取符合题设条件的特殊函数去计算,然后选择正确选项.
【详解】取
.
则当时,,
而,所以为连续的偶函数,则选项(B)正确,故选(B).
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题,用赋值法求解往往能收到奇效.
符合题设条件的函数在多教科书上均可见到,完全类似例题见2006文登最新模拟试卷(数学三)(8).
3. C【分析】题设条件两边对求导,再令即可.
【详解】两边对求导,得
.
上式中令,又,可得
,故选(C).
【评注】本题考查复合函数求导,属基本题型.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】,《数学复****指南》【】,《数学题型集粹与练****题集》【典例精析】.
4. D【分析】,然后由特解形式判定非齐次项形式.
【详解】由所给解的形式,可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
.
则对应的齐次微分方程的特征方程为
.
故对应的齐次微分