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最小二乘法用于测井曲线的拟合
摘要测井曲线拟合主要采用最小二乘法原则进行函数模型逼近,常用的方法为普通的最小二乘法,但是因为其存在一定的缺陷,所以另外采用了中心化最小二乘法进行进一步的拟合。此外,由于测井环境(井径、泥浆性能、泥浆侵入、层厚、围岩、井内温度、压力等)、仪器性能以及测量条件(测速等)的影响,各种测井原始值是受上述因素影响的视参数,因此,利用计算机查图版结合最小二乘法原则对测井资料进行有关的校正。
关键词:测井曲线,最小二乘法,中心化,曲线拟合
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。在测井中常用此方法进行曲线的拟合以及校正。
1、普通最小二乘法
求解线形方程组时,通常要求未知数的个数与方程式的个数相等,如果方程式的个数多于未知数的个数,就往往无解,这样的方程组称为矛盾方程组。最小二乘法是用来解矛盾方程组的一个常用方法。
设有矛盾方程组
即
式中,k<n。因为式(1)是矛盾方程组,所以找不到能同时满足这n个方程的解。我们转而寻求在某种意义下的近似解。这种近似解当然不是指对精确解的近似(因为精确并不存在),而是指寻求各未知数的一组取值,使方程组(1)中各式近似地相等,这就是用最小二乘法解矛盾方程组的基本设想。把近似解代入方程组(1)后,只能使各方程式两端近似相等。
把各方程两端之差称为误差。
按最小二乘法规定的准则,是把各方程式误差的平方和
作为衡量一个近似解的近似程度(或优劣程度)的标志,即有定义:如果βj(j=1,2,⋯,k)的一组取值,使误差的平方和与式(2)达到最小值,则称这组值是矛盾方程组(1)的最优近似解。
误差平方和Q可以看成k个自变量βj的二次函数,因此求解矛盾方程组(1)的问题归结为求二次函数Q的最小值问题。应该指出,因为二次函数Q是β1,β2,⋯,βm,的连续函数,且ΣRi2≥0,故一定存在一组数β1,β2,⋯,βm,使得Q达到最小值。而二次函数Q达到最小值(即极小值)必须满足条件
从而,极值条件就可化成
(3)
具有k个未知数k个方程式的线形方程组(3)称为对应于矛盾方程组(1)的正规方程组。由上述推导可以得出正规方程组(3)的解是矛盾方程组(1)的最优近似解。
如果用Cij表示正规方程组第m个方程中βj的系数,用dm表示正规方程组第m个方程的右端项,正规方程组(3)可以写成
这样,正规方程组中系数Cmj等于矛盾方程组各方程式中βm的系数与βj的系数乘积之和,具有Cmj=Cjm,右端项dm等于矛盾方程组各方程式中βm的系数与右端项乘积之和。
傅里叶函数f(x)=bo+bl COSωx+b2 sinωx变量b。,b1,b1便可以计算出来。
成像或地层倾角人机交互处理过程中需要拟合地层或裂缝面,即1条单周正弦波曲线,可以采用拟合固定宽度范围内(频率为f=2πω)的1个傅里叶函数f(x)=bo+bl COSω
x+b2 sinωx。现对一下3组数据(表1)进行拟合(图1-3)
表1 实验数据统计表
图1、普通最小二乘法拟合结果(第一组数据)
图2、普通最小二乘法拟合结果(第二组数据)
图3、普通最小二乘法拟合结果(第三组数据)