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函数列及其一致收敛性.doc


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函数列及其一致收敛性.doc
文档介绍:
函数列及其一致收敛性
设(1)
是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可简单地写作:
或,
设,以代人(1)可得数列
(2)
若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点收敛,称为函数列(1)的收敛点.若数列(2)发散,则称函数列(1)在点发散.若函数列(1)在数集D上每一点都收敛,则称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点,都有数列的一个极限值与之相对应,由这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列(1)的极限函数.若把此极限函数记作,则有


,
函数列极限的定义是:对每一固定的任给正数,恒存在正数N(注意:一般说来N值的确定与和的值都有关,所以也用表示它们之间的依赖关系),使得当n>N时,总有

使函数列收敛的全体收敛点集合,称为函数列的收敛域.
例1 设为定义在上的函数列,证明它的收敛域是(—1,1],且有极限函数
(3)
证任给(不妨设),当时,由于
只要取当时,就有
当和时,则对任何正整数,都有
这就证得在上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.
当时,则有,当时,对应的数列为
它显然是发散的.所以函数列叫区间外都是发散的.
例2 定义在上的函数列由于对任何实数,都有
故对任给的,只要就有
所以函数列的收敛域为无限区间,极限函数
对于函数列,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质.比如能否由函数列每项的连续性,判断出极限函数的连续性.又如极限函数的导数或积分,是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些问题的讨论,只要求函数列在数集D上的收敛是不够的,必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行,这就是以下所要讨论的一致收敛性问题.
定义1 设函数列与函数定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时,对一切都有

则称函数列在D上一致收敛于,记作

由定义看到,如果函数列在D上一致收敛,那么对于所给的,不管D上哪一点,总存在公共的(即N的选取仅与有关,与的取值无关),只要n>N,都有
由此看到函数列在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛.反之,在D上每一点都收敛的函数列,在D上不一定一致收敛.
如上述例2中函数列,对任给正数,不管取上什么值,都可取(它仅依赖于的值),当n>N时,恒有所以函数列,在上一致收敛于函数.
函数列在D上不一致收敛于函数,是指它们不满足定义1的条件.但也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述.即函数列(1)在D上不一致收敛于的充要条件是:存在某正数,对任何正数N,都有D上某一点与正整数(注意:与的取值与有关),使得
从前面例1中知道,函数列在(0,1)上收敛于。我们证明它在(0,1)上不一致收敛。事实上,令,对任何正数取正整数及则有
函数列(1)一致收敛于,从几何意义上讲:对任何正数,存在正整数N,对于一切序号大于N的曲线,都落在以曲线与为边(即以曲线为“中心线”,宽度为)的带形区域内(如图13—1所示).
函数列在区间(0,1)内不一致收敛,从几何意义上讲:存在某个事先给定的,无论N多么大,总有曲线不能全部地落在以与为边的带形区域内,如图13—2所示,若函数列只限于在区间内讨论,容易看到,只要,曲线就全部落在以和为上下边的带形区域内.所 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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