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函数解题中容易忽略的一些细节
张万库
函数是描述客观世界中量与量之间对应关系的一种重要数学模型,因而是中学数学主干知识之一。高一新生初学函数时,由于对函数的概念、性质理解不透,解题中往往忽略了一些细节,造成错解。本文就此谈几点,供大家参考。
一. 忽视定义域的存在与作用
例1. 求函数的单调区间。
错解:在上是减函数,在上是增函数。又是减函数,所以函数的递增区间是,递减区间是。
错因分析:上述错解忽略了函数的定义域是,而不是。
正解:函数的定义域是。在上是减函数,在上是增函数。
又上是减函数,所以根据复合函数的单调性,函数的递增区间是,递减区间是。
注:定义域是建立函数关系、研究函数性质的基础,忽略函数定义域的存在与作用,就有可能出现错解。
二. 忽略对应法则的意义与作用
例2. 要得到函数的图象,只需将函数的图象如何变换?
错解:把函数的图象上所有点向左平移1个单位长度,就得到函数的图象。
错因分析:函数图象左右平移变换有一定规律。把函数的图象上所有点向左或向右()平移|h|个单位长度,就得到函数的图象。中的f是对应法则,是由x得到y的方法途径,作用对象是x。中的f与的f意义一样,只是作用对象是而不是x。上述错解中的与并不具有这里所说的关系,把看成,f的意义是“乘2,加1,取对数”,而并不是,需要进行等价变换。
正解:由
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,就得到函数
即的图象。因此把函数的图象上所有点向右平移个单位长度,就得到函数的图象。
注:在研究函数图象变换时,必须弄清具体函数中的对应法则的意义及作用对象。
三. 忽略判别式的适用范围
例3. 求函数的值域。
错解:由
得①
因,所以
即
解得
故函数的值域为
错因分析:判别式的适用范围是针对一元二次方程的。当时,①式不是一元二次方程,则上述求解过程错误。
正解:由,得②
当即时
因所以
即
解得
当时,②式为,显然不成立,此时无实根,因此y=1不是此函数值。
综上所述,函数的值域为
四. 求反函数时,忽略原函数的值域
例4. 求函数的反函数。
错解:由,得,即,则
故函数的反函数是
错因分析:如果一个函数存在反函数,则原函数的定义域、值域与反函数的值域、定义域是互换的