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最短路算法及其应用
广东北江中学余远铭
【摘要】
最短路问题是图论中的核心问题之一,它是许多更深层算法的基础。同时,该问题有着大量的生产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系,却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围,并对其应用做出了举例说明,侧重于模型的建立、思考和证明的过程,最后作出总结。
【关键字】
最短路
【目录】
一、基本概念 2
定义 2
2
3
4
二、常用算法 5
Dijkstra算法 5
Bellman-Ford算法 7
SPFA算法 8
三、应用举例 10
例题1——货币兑换 10
例题2——双调路径 11
例题3——Layout 13
例题4——网络提速 15
四、总结 18
【正文】
一、基本概念
定义
乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并在地图上标出了每对十字路口之间的距离,如何找出这一最短行程?
一种可能的方法是枚举出所有路径,并计算出每条路径的长度,然后选择最短的一条。然而我们很容易看到,即使不考虑含回路的路径,依然存在数以百万计的行车路线,而其中绝大多数是没必要考虑的。
下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中,给出的是一有向加权图G=(V,E),在其上定义的加权函数W:ER为从边到实型权值的映射。路径P=(v0, v1,……, vk)的权是指其组成边的所有权值之和:
定义u到v间最短路径的权为
从结点u到结点v的最短路径定义为权的任何路径。
在乘车旅行的例子中,我们可以把公路地图模型化为一个图:结点表示路口,边表示连接两个路口的公路,边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。
边的权常被解释为一种度量方法,而不仅仅是距离。它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。

单目标最短路径问题: 找出从每一结点v到某指定结点u的一条最短路径。把图中的每条边反向,我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。
单对结点间的最短路径问题:对于某给定结点u和v,找出从u到v的一条最短路径。如果我们解决了源结点为u的单源问题,则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况,从渐进意义上看,目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。
每对结点间的最短路径问题:对于每对结点u和v,找出从u到v的最短路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。

在某些单源最短路问题中,可能存在权为负的边。如果图G(V,E)不包含由源s可达的负权回路,则对所有,最短路径的权的定义依然正确。即使它是一个负值也是如此。但如果存在一从s可达的负权回路,最短路径的定义就不能成立了。从s到该回路上的结点不存在最短路径——因为我们总可以顺着找出的“最短”路径再穿过负权回路从而获得一权值更小的路径,因此如果从s到v的某路径中存在一负权回路,我们定义。
图1 含有负权和负权回路的图
图1说明负的权值对最短路径的权的影响。每个结点内的数字是从源点s到该结点的最短路径的权。因为从s到a只存在一条路径(路径<s,a>),所以:。
类似地,从s到b也只有一条通路,所以:
。
从s到c则存在无数条路径:<s,c>,<s,c,d,c>,<s,c,d,c,c,d,c>等等。因为回路<c,d,c>的权为6+(-3)=3>0,所以从s到c的最短路径为<s,c>,其权为:
。
类似地,从s到d的最短路径为<s,c,d>,其权为:
。
同样,从s到e存在无数条路径:<s,e>,<s,e,f,e>,<s,e,f,e,f,e><e,f,e>的权为3+(-6)=-3<0,所以从s到e没有最短路径。只要穿越负权回路任意次,我们就可以发现从s到e的路径可以有任意小的负权值,所以:
类似地,
因为g是从f可达的结点,我们从s到g的路径可以有任意小的负权值,则:
。
结点h,j,i也形成一权值为负的回路,但因为它们从s不可达,因此
。
一些最短路径的算法,例如Dijkstra算法,都假定输入图中所有边的权取非负数,如公路地图实例。另外一些最短路算法,如Bellman-Ford算法,允许输入图中存在权为负的边,只要不存在从源点可达的权为负的回路,这些算法都能给出正确的解答。特定地说,如果存在这样一个权为负的回路,这些算法可以检测出这种回路的存在。

本文的算法所运用的主要技术是松弛技术,它反复减小每个结点的实际最短路