中南大学2002-2011年研究生入学考试数学分析试题.doc

中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题
2002年
一、求下列极限
(1);
(2);
(3)。
二、(共16分,每小题8分)设函数
,
(1)证明连续;
(2)是否一致连续?(请说明理由)。
三、(共16分,每小题8分)
(1)设,求阶全微分;
(2)设,,变换以下方程
。
四、(共20分,每小题10分)
(1)求积分;
(2)求曲面,和所围成的体积。
五、(共12分,每小题6分)设
,
(1)求的条件收敛域;
(2)求的绝对收敛域。
六、证明:积分

是参数的连续函数。
七、(8分)设定义于上的函数存在三阶的导函数,且
,,
证明:。
2003年
一、(共27分,每小题9分)求下列极限
(1);
(2);
(3)设在上可积,且,求。
二、(共24分,每小题12分)设函数在上连续,
(1)证明:若存在,则在上一致连续;
(2)上述逆命题是否成立?(请给出证明或举出反例)。
三、(共27分,每小题9分)设
(1)求偏导数和;
(2)讨论函数和在原点的连续性;
(3)讨论在原点的可微性。
四、(共30分,每小题15分)
(1)求在处的幂级数展开式及其收敛半径;
(2)计算三重积分,其中是由曲面与平面所围的区域。
五、(12分)计算下列曲面积分
,
其中,,积分是沿曲面的外侧。
六、(共15分,每题5分)设

求关于的收敛性;
(2)在上述收敛域中是否一致收敛?
(3)讨论的条件收敛性和绝对收敛性。
七、(共8分,每题4分)设,发散,记,
证明:(1)发散; (2)收敛。
八、(8分)设定义于的实值函数在右连续,且对任何实数,都满足

证明: (为常数)
2004年
:若数列收敛,则它有且只有一个极限。(20分)
:
(a); (10分)
(b)序列收敛。(20分)
,且,证明:在上,恒有。(20分)
,分别讨论级数的一致收敛性。(20分)

在原点处的可微性。(20分)
,且在开区间内没有极值点,则是的严格单调函数。(20分)

及
又设可微,非增,则
(20分)
2005年
一、(共30分,每小题10分)
(1)求极限
(2)求极限
(3)设证明其中,

二、(共20分,每小题10分)分别讨论函数在下列区间中是否一致连续:
(1),这里为随便多大的正数;
(2)在区间上。
三、(20分)证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义:
“若函数在上连续,在上可导;则在内至少存在一点,使。”
四、(20分)求半径为的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。
五、(共36分,每小题12分)
(1)求积分;
(2)求第一类曲面积分其中为体积的边界;
(3)分别研究函数项级数在下列区间上的一致收敛性:
(a)在上,其中(b)在上。
六、(12分)设是上的非负可积函数序列,且存在。若,有;证明对任何一个上的连续函数都有
。
七、(12分)设,都是周期函数,且;证明。
2006年
判断题:(每题5分,共25分)
若级数收敛,则();
收敛的数列一定有界. ();
开区间内可导的函数一定在闭区间上连续. ();
若函数在点附近具有二阶连续导数,且,,则在
处达到极小值. ();
若函数在上有定义且是连续的,而且极限存在且有限,则在此区间上一致连续. ().
求下面数列的极限值:(每小题10分,共30分)
(1)其中为常数;
(2);
(3)
求下列函数的极值:(每小题10分,共20分)
(1);
(2)
(20分)设收敛,收敛,试证明级数收敛.
(15分)若非负函数在上连续,且则
(20分)设在上连续,证明
其中
七、(20分)若函数(1)在区间上有二阶导函数,
(2)则在区间内至少存在一点使得
2007年
判断题:(正确的打√,错误的打×,每题5分,共25分)
任何定义在上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。()
设连续且,则()
若序列收敛,则和必有一序列收敛。()
若对任意,函数在上连续,则在内连续。()
若函数在内连续且有极大值点,则。()
求下列极限值:(每小题10分,共20分)
(1);
(2)其中
(20分)求曲线在点处的切线方程和法线方程。
(15分)试证明时
(20分)试求
(25分)设为的连续函数,
证明
(25分)设函数在上可导且非常数函数,,试证明,在中至少存在一点,使得
2008年
一、判断题(5分,共25分)
若函数在闭区间上一致连续,则在开区间