线性代数 第一章.doc

第一章 n阶行列式
§1 全排列及逆序数
解方程是代数中的一个基本问题,中学代数中,解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式,我们知道它们的展开式分别为
=a11a22-a12a21, (1-1)
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33, (1-2)
其中元素aij的两个下标i与j分别表示aij所在的行与列的序数.
我们观察到()式的右端是一些项的代数和,其中,每一项是位于不同行不同列的三个数相乘,这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的,:这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系?为此我们引入全排列与逆序数等概念.
定义1 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).
有序数组12和21,由两个数构成,称为二级排列,有序数组213则称为三级排列,三级排列的总数为3!=6个,4321为四级排列,四级排列的总数为4!=24个,n级排列的总数是n(n-1)(n-2)·…·2·1=n!,读为“n阶乘”.n!随着n的增大迅速地增大,例如,10!=3628800.
显然12…n也是一个n级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的,其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.
定义2 在一个排列中,如果两个数(称为数对)的前后位置与
大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
一个排列j1j2…jn的逆序数,一般记为τ(j1j2…jn).
排列12的逆序数为0,排列21的逆序数为1,排列231的数对21、31均构成逆序,而23不构成逆序,,即τ(213)=
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.
二级排列12为偶排列,21为奇排列;三级排列231为偶排列,213为奇排列.
现在我们探讨()、()式右端各项的规律:
()式右端各项的第一个下标按自然顺序排列,对它们第二个下标进行观察:第二个下标由两个自然数1和2组成,只能构成两个
二级排列:12和21,排列个数等于(1-1)式右端的项数,且排列12的逆序数为0,对应项的符号为“+”,而排列“21”的逆序数为1,所对应项的符号为“-”.
()式右端各项的第一个下标按自然顺序排列,第二个下标由自然数1、2和3组成,构成的三级排列共有3!=6个:123、231、312、132、213、321,这正好等于()式右端的项数,排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2,它们均为偶排列,对应项的符号为“+”,排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3,它们都是奇排列,对应项的符号为“-”.综上所述:()式右端各项可写成,这里j1j2j3是1、2、3的一个三级排列,当j1j2j3为偶排列时,项前面的符号为正,当j1j2j3为奇排列时,项前面的符号为负,各项所带符号均可表示为(-1)J,其中J=τ(j1j2j3)(1-2)式可写为
,
表示对全体三级排列求和.
例1计算以下各排列的逆序数,并指出它们的奇偶性.
(1) 42531,(2) 135…(2n-1)246…(2n).
解(1) 对于所给排列,4排在首位,逆序个数为0;2的前面有一个比它大的数,逆序个数为1;5的前面有0个比它大的数,逆序个数为0;3的前面有两个比它大的数,逆序个数为2;1的前面有四个比它大的数,,即
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7,即τ(42531)=7,因而是奇排列.
(2) 同理可得:
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=.
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列,当n=4k+2或4k+3时为奇排列.
§2行列式的定义
定义4 n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
(1-3)
的代数和,这里j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列,每一项(1-3)都按下列规则带有符号:当j1j2…jn是偶排列时,(1-3)带有正号,当j1j2…jn是奇排列时,(1-3)
, ()
这里表示对所有n级排列求和.
例2 计算四阶行列式
。
解根据定义,D是4!=24项的代数和,但每一项的乘积中只要有一个元素为0,乘积就等于0,