考研高数习题集(下).doc

下册目录
第五讲: 多元微分与二重积分…………………2
单元一: 概念……………………………………………………………………………………….2
单元二: 偏导与全微分计算……………………………………………………………………….3
单元三: 隐函数求导(方程或方程组) …………………………………………………………….5
单元四: 二元极值………………………………………………………………………………….7
单元五: 交换二次积分次序……………………………………………………………………….9
单元六: 二重积分计算…………………………………………………………………………...10
单元七: 二重积分应用…………………………………………………………………………...14
第六讲: 无穷级数…………………………...15
单元一: 收敛定义………………………………………………………………………………...15
单元二: 数项级数审敛…………………………………………………………………………...16
单元三: 幂级数…………………………………………………………………...………………18
单元四: 傅里叶级数……………………………………………………………………………...22
第七讲: 向量代数,解析几何与偏导应用……………..24
单元一: 向量代数………………………………………………………………………………..24
单元二: 解析几何………………………………………………………………………………..25
单元三: 偏导数的几何应用……………………………………………………………………..26
单元四: 方向导数与梯度………………………………………………………………………..28
第八讲: 三重积分与线面积分…………………..29
单元一: 三重积分计算…………………………………………………………………………..29
单元二: 三重积分应用…………………………………………………………………………..31
单元三: 第一类线面积分计算…………………………………………………………………..33
单元四: 第一类线面积分应用…………………………………………………………………..36
单元五: 第二类曲线积分与Grenn公式………………………………………………………..38
单元六: 积分与路径无关性……………………………………………………………………..41
单元七: 第二类曲面积分与Gauss公式………………………………………………………..43
单元八: 第二类线面积分应用…………………………………………………………………..46
单元九: 环流量与Stokes公式………………………………………………………………….47
第五讲: 多元微分与二重积分
单元一: 概念
1. 函数在点[]
:连续不可导; :可导不连续;
:可导连续不可微; :全微分存在
2. 函数在点[]
:连续不可导; :可导不连续;
:可导连续不可微; :全微分存在
3. 函数(1); (2) 在点[]
:连续不可导; :可导不连续;
:可导连续不可微; :全微分存在
4. , 其中在含点的邻域内有界, 则在点处: []
:连续不可导; :可导不连续;
:可导连续不可微; :全微分存在
5. 设连续,,研究在原点的连续,可导,可微性. [略]
6. 证明: 在点可微,但偏导不连续.
[(1)
(2), 不连续]
单元二: 偏导与全微分计算
1. , 求: .
[]
2. , 的一阶偏导存在, 证明: .
[]
3. , 可导, 且, 证明: .
[]
4. 证明: 方程有形如: 的解. 其中为任一可微函数.
[]
5. , 且当时, , 求: .
[]
6. ,, 的一阶偏导存在, 求:.
[]
7. 设满足, 证明: 在极坐标下只与极径有关.
[]
8. 设, 变换方程: .
[
]
9. 证明: 若, 作变换: , 则:
[]
10. 可导,,求:.
[]
11. 具有二阶连续偏导数, 求: , 其中:
(1)
[]
(2)
[]
(3)
[略]
(4)
[]
12. , 求: [略]
单元三: 隐函数求导(方程或方程组)
1. (1)设,求:. []
(2),求:
2. 确定,其中, 求.

3. , 其中可微, , 证明: .
[]
4. 设由方程确定,偏导存在,求
[]
5. 求::
(1). []