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贝塞尔曲线
在数学的数值分析领域中,贝兹曲线(Bézier curve)是电脑图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝兹曲线就称作贝兹曲面,其中贝兹三角是一种特殊的实例。
贝兹曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝兹(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝兹曲线来为汽车的主体进行设计。贝兹曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 演算法开发,以稳定数值的方法求出贝兹曲线。
实例说明
线性贝兹曲线
给定点 P0、P1,线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:
且其等同于线性插值。
二次方贝兹曲线
二次方贝兹曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪:
。
TrueType 字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。
三次方贝兹曲线
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于 P0 走向 P1,并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距,决定了曲线在转而趋进 P3 之前,走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为:
。
现代的成象系统,如 PostScript、Asymptote 和 Metafont,运用了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线,用来描绘曲线轮廓。
一般化
n 阶贝兹曲线可如下推断。给定点 P0、P1、…、Pn,其贝兹曲线即
。
例如 n = 5:
。
如上公式可如下递归表达: 用表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝兹曲线。则
用平常话来说,n 阶的贝兹曲线,即双 n - 1 阶贝兹曲线之间的插值。
术语
一些关于参数曲线的术语,有
即多项式
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式,定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝兹曲线的控制点。多边形以带有线的贝兹点连接而成,起始于 P0 并以 Pn 终止,称作贝兹多边形(或控制多边形)。贝兹多边形的凸包(convex hull)包含有贝兹曲线。
注解
开始于 P0 并结束于 Pn 的曲线,即所谓的端点插值法属性。
曲线是直线的充分必要条件是所有的控制点都位在曲线上。同样的,贝兹曲线是直线的充分必要条件是控制点共线。
曲线的起始点(结束点)相切于贝兹多边形的第一节(最后一节)。
一条曲线可在任意点切割成两条或任意多条子曲线,每一条子曲线仍是贝兹曲线。
一些看似简单的曲线(如圆)无法以贝兹曲线精确的描述,或分段成贝兹曲线(虽然当每个内部控制点对单位圆上的外部控制点水平或垂直的的距离为时,分成四段的贝兹曲线,可以小于千分之一的最大半径误差近似于圆)。
位于固定偏移量的曲线(来自给定的贝兹曲线),又称作偏移曲线(假平行于原来的曲线,如两条铁轨之间的偏移)无法以贝兹曲线精确的形成(某些琐屑实例除外)。无论如何,现存的启发法通常可为实际用途中给出近似值。
建构贝兹曲线
线性曲线
线性贝兹曲线演示动画,t in [0,1]
线性贝兹曲线函数中的 t 会经过由 P0 至 P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t= 时,B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t,B