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飞行管理问题
题目
在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假设条件如下:
假设条件
(1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;
(2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30°;
(3)所有飞机飞行速度均为800km/h;
(4)进入该区域的飞机在达到区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60km以上;
(5)最多需考虑6架飞机;
(6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。
问题
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(°)
飞机位置、飞行方向数据
设该区域4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。记录数据如表所示:
飞机编号
横坐标X
纵坐标Y
方向角(°)
1
150
140
243
2
85
85
236
3
150
155

4
145
50
159
5
130
150
230
新进入
0
0
52
VI
I
III
II
V
IV
160km
160km
飞行位置示意图
这表面上是一个有6个控制对象的最优控制问题,控制方案太多,似乎很难寻优。
但仔细分析这并不是空间优化问题,只考虑10000米高空的面包片;因而是平面问题。而实际上对每架飞机而言是一维问题,因为只有旋转角度问题,故有可能简化。
这个有六个控制对象的最优控制问题可以利用平面几何的知识证明两个简单结论,从而转化为非线性优化问题。
早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整,由于时刻确定,问题就简化为优化问题。
结论一:
A
F
D
B
E
C
证:飞机处于A,飞行方向AB,到达B会与另一架飞机相撞,至少调整到AC才可能避免相撞。若飞行至D再调整,仍需飞向C才可能避免相撞,幅度为∠BDF>∠BAC,实际幅度为∠EDB>∠BDF。因此早调整一定优于晚调整。
一次调整到位,优于多次调整。
结论二:
证:分两次调整,幅度∠BAD+∠ODC > ∠BAO+∠DAC= ∠ BAC。进一步可以用数学归纳法证明一次调整到位优于多次调整。
A
F
D
O
E
C
B
这样原问题的调整时刻确定,无须考虑时间因素,问题转化为一般优化问题。