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2010年北约自主招生--数学(试题及答案).doc

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2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1. ,求证:.
:最长为.(25分)
,求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)
,,,,,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)
5.(仅理科做)存不存在,使得为等差数列.(25分)
答案解析:
,则,且当时,.于是在上单调增.∴.即有.
同理可证.
,当时,.于是在上单调增。
∴在上有。即。
2. 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
⑴当中有一点位于点时,知另一点位于或者时有最大值为;当有一点位于点时,;
⑵当均不在轴上时,知必在轴的异侧方可能取到最大值(否则取点关于轴的对称点,有).
不妨设位于线段上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使最大的点必位于线段上.
且当从向移动时,先减小后增大,于是;
对于线段上任意一点,
由⑴,⑵.
下面研究正五边形对角线的长.
.
易知.
于是四边形为平行四边形.∴.
.
3. 不妨设过点的切线交轴于点,过点的切线交轴于点,,
且有.
由于,
于是的方程为;①
的方程为. ②
联立的方程,解得.
对于①,令,得;
对于②,令,得.
于是.
.不妨设,,则
③
不妨设,则有
6个 9个
. ④
又由当时,③,④处的等号均可取到.
∴.
注记:不妨设,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由知当时;当时.
则在上单调减,.
4. 不妨设,夹角为,则,令
.
,故.
当时,,解得.
当时,在上单调增,.
于是夹角的范围为.
5. 不存在;否则有,
则或者.
若,;
若,.
而,矛盾!

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