2011年自主招生华约数学试题解析.doc

2011年华约试题解析
选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且则|z| = ( )

解:由得,已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2(舍去),。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

[分析]本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一:如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系z
O
N
M
D
C
B
A
P
y
x
,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),则,。设所成的角为
θ,则。
解法二:如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N,D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2,所以QN = AN = ,而AQ = ,容易算出等腰ΔAQN的顶角。
解法三:也可以平移AN与DM在一起。即A移到M,N移到PN的中点Q。以下略。
N
M
D
C
B
A
P
Q
(3)过点(-1, 1)的直线l与曲线相切,且(-1, 1)不是切点,则直线l的斜率为( )
此题有误,原题丢了,待重新找找。
(4)若的最小值和最大值分别为( )
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式,沿着两个方向:①降次:把三角函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个。
解:
,可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱。我们来转化一下,就可以去掉三个圆,已知条件变为:ΔO O1 O2边O1 O2上一点C,O O1、O O2延长线上分别一点A、B,使得O1A = O1C,O2B = O2C。
解法一:连接,C在上,则,,,故
,
,。
解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆的半径相等,则,
,
,。
(6) 已知异面直线a,b成60°角。A为空间一点则过A与a,b都成45°角的平面( )
A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个
[分析]已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系。于是原题简化为:已知两条相交直线a,b成60°角,求空间中过交点与a,b都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量则的最小值为( )

解:由得
由于,可以用换元法的思想,看成关于x,y + z,y - z三个变量,变形,代入
,答案B
(8)AB为过抛物线y2 = 4x焦点F的弦,O为坐标原点,且,C为抛物线准线与x轴的交点,则的正切值为( )
解法一:焦点F(1,0),C(-1,0),AB方程y = x – 1,与抛物线方程y2 = 4x联立,解得,于是
,,答案A
解法二:如图,