2013年华约自主招生数学试题解析.doc

2013年华约自主招生数学试题解析
,且中元素满足:①任意一个元素的各数位的数字互不相同;②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9;
(1)求中的两位数和三位数的个数;
(2)是否存在五位数,六位数?
(3)若从小到大排列中元素,求第1081个元素.
解析:(配对法)将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对:(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.
(1)两位数有个;三位数有个;
(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数.
(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012.
,求.
解析:由①,②,平方相加得,另一方面由①得③,由②得④,④除以③得,因此.
,点在上,其中,且在轴同侧.
(1)求中点的轨迹;
(2)曲线与抛物线相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.
解析:(1)设,则,由得,即,又,于是的轨迹方程为
,于是中点的轨迹的焦点为,实轴长为2的双曲线.
(2)将与联立得,曲线与抛物线相切,故,又因为,所以,且,因此两切点分别在定直线上,两切点为,于是在处的切线方程分别为,即,
在处的切线方程分别为,即.
,8个黑球,一次取出4个.
(1)求恰有一个红球的概率;
(2)取出黑球的个数为,求的分布列和期望;
(3)取出4个球同色,求全为黑色的概率.
解析:(1)恰有一个红球的概率为;
(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4,,,
即的分别列为
0
1
2
3
4
所以.
(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无需繁杂计算)
(3)取出4个球色,全为黑色的概率为.
,且对任意满足.
(1)求证:对任意正数,存在,当时有;
(2)设是前项和,求证:对任意,存在,当时有.
(