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一个基本图形的应用
【摘要】数学题目题海茫茫,如果能发现问题的变化规律,抓住基本图形,对其认真分析研究、拓展变化、延伸,学生的思维的广度与深度一定会有质的飞跃,从而告别“题海”的束缚,促进自身创新思维的发展.
【关键词】基本图形;应用;几何变式题

“最值问题”,数学史上也有不少相关的故事,如:海伦是古希腊精通数学、物理的学者,,从A点出发,到河岸l去饮马,然后再去B地,怎么走路线最短?海伦轻松地给出了答案:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B 的值最小.


图1 图2图3 图4
该图形在初中数学中应用非常广泛,利用该图形可以解决以下几类问题:
一、在正方形、菱形中的应用
,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是_________.
2.(2008?荆门)如图3,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_________.
二、在三角形中的应用
:如图4,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=8,M在BC上,且BM=2,N是AC上一动点,则BN+MN的最小值为_________.
4.(2012?鄂州)如图5在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是_________.
三、在角中的应用
:点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=30°,OP=3,则△PMN的周长的最小值为_________.
,∠MON=30°,A在OM上,OA=2,D在ON上,OD=4,C是OM上任意一点,B是ON上任意一点,则折线ABCD的最短长度为_________.


图5图6图7图8
四、在梯形中的应用
7.(2011?天水)如图8,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是_________.
,直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,使点A落在直角梯形ABCD内部点P处,则PD的最小值为__________.
五、在直角坐标系中的应用
,A(1,?3),B(4,?1),P(a,0),N(a+2,0),当四边形ABNP的周长最小时,a=__.


图9 图10 图11图12
,一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,则当PC+PD的值最小时P点的坐标为_________.
,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,?3),B(4,?1).若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上