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湖南师大2005年度高等代数考研试题.doc

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湖南师大2005年高等代数考研试题
.(30分)(每小题6分,先回答对或错,对的做简单说明,错的做出反例)
,若的系数都是整数,那么是本原多项式吗?为什么?
?为什么?
,且,问是否有为什么?
:,问A是上可逆的线性变换吗?为什么?
,对任意的在上定义
问关于这个定义是否构成欧氏空间?为什么?
二.(10分)设为两两不同的整数,证明:
在有理数域上不可约.
三.(10分)计算下列行列式
.
四.(10分)解下面线性方程组,讨论何时有解,何时无解,在有解的情形把解求出来.
.
五.(15分)设A,B是n阶方阵,且A+B可逆,证明:
(1) ;
(2)若还有A和B都可逆,则也可逆,且
六.(10分)设是正定二次型,证明对任意的n 维向量X,Y,有
.
七.(10分)在线性空间中,设多项式
其中是互不相同的数,证明:是的一组基.
八.(15分)设A,B是线性空间V的线性变换,且为非零数,E为恒等变换,证明
(1)
(2)
九.(20分)设4阶实对称矩阵
(1)求出A的所有特征值与特征向量;
(2)求一个正交矩阵T,使得为对角矩阵.
十.(10分)设f(x)是一个整系数多项式,f(5)=7,f(7)=3,证明不可能有f(3)=5.
十一.(10分)设为正定矩阵,其中B,C为方阵.
你能得出哪些矩阵是正定的,要求至少有一个表示式中含矩阵D;
能否用你得到的这些正定矩阵给出A正定的一个充分条件.

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