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一元函数微分学15067第二章一元函数微分学

第一节导数的概念
教学目的:掌握导数的概念,会用导数的定义求函数的导数,会用导数描述一些实际问题的变化率。
教学重点、难点:导数概念,会用导数的定义求函数的导数,用导数描述一些实际问题的变化率。
教学形式:多媒体教室里的讲授
教学时间:90分钟
教学过程
一、引入新课
微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。
在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度,如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等,而当物体沿曲线运动时,还需要考虑速度的方向,即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。
二、新授课

 ( 1)、变速直线运动的瞬时速度问题
设动点作变速直线运动,其经过的路程是时间的函数,即,求它在时刻的瞬时速度。
如右图所示,假定在某一瞬时,动点的位置是,而经过极短的时间间隔后,即在瞬时,动点的位置到达,于是动点在时间间隔内所走过的路程是:
,
动点在这段时间内的平均速度为
由于时间间隔较短,它可以大致说明动点在时刻的速度,且时间间隔取得越小,这段时间内的平均速度愈接近时刻瞬时速度。若令趋于零,则极限值精确地反映了动点在时刻的瞬时速度。

(2)、切线问题
割线的极限位置——切线位置(附:Flash说明)
如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。
极限位置即
设。
割线MN的斜率为,
,,
    切线MT的斜率为。

上面讨论的两个实例,虽然是不同的具体问题,但是它们在计算时都归结为如下的极限:

其中是函数的增量与自变量的增量之比,表示函数的平均变化率。
定义:设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在取得增量时,相应地函数取得的增量。
若极限存在,则函数在点处可导,并称此极限值为函数在点的导数,记为:
即
    其他形式;
    。
关于导数的说明:
①点导数是因变量在点处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。
② 如果函数在开区间内的每点处都可导,就称函数在开区间内可导。
③ 对于任意都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导函数记作,,或。即
    或。
注意:1).。
         2).导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。

步骤:(1)求增量;
     (2)算比值;
     (3)求极值。
根据导数的定义求导具有固定的步骤,可以利用的语句计算,步骤如下:
1> 定义函数
2> 根据定义求导
设圆的面积为,半径为,求面积关于半径的变化率。
解(1):
面积关于半径函数关系为;
圆半径的增量,则圆面积的增量为;
圆面积的平均变化率为;
面积对半径的变化率为
解(2):用求解
求函数(C为常数)的导数。
解(1):
。
即
。
解(2)用求解
课堂练****P45 第5题
例3 根据导数的定义求的导数,其中为正整数。
解(1):由二项式定理,得
于是
即,
解(2):利用的语句计算的导数。

因此.
一般地,对幂函数,
有
利用这一公式,可以求出幂函数的导数。
例如,当时,的导数为
,
即.
当时,的导数为
,
即
课堂练****P45 第6(1)、(3)、(5)题
利用导数的定义还能够比较容易地求出:
三、本节小结:
导数定义,和几个常见的导数公式
四、课外作业:
P45****题3—1
第3题
,经过时间(单位:)后,物体上升高度为(单位:),求下列各值:
(1)物体在到这段时间内的平均速度;
(2)物体在时的瞬时速度;
(3)物体在到这段时间内的平均速度;
(4)物体在时的瞬时速度;
第4题
,试按导数定义求。
第二章一元函数微分学
第二节导数的概念
教学目的:掌握可导与连续关系,求导举例
教学重点、难点:几何意义、可导与连续关系
教学形式:课堂讲授
教学时间:90分钟
教学过程
一、回顾上次课内容
(变化率)模型:
:
:
:
。
二、新授课

定义2: 由于导数为,则和分别称为函数在点处的左导数与右导数,分别记为
。

    定理一函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数与右导数都存在且相等。
证明略。