定积分计算法.doc

一、定积分计算基本方法
牛顿—莱布尼兹公式:
定积分的换元法:
设10 在[上连续,
20 ,
30 在[上连续,
则。
注:条件3书上用较强的条件在[上连续且当时,的值域不超出来代替。实际上代换的值域可以超出,如上图。
3、定积分的分部积分法:
注意事项:
1、被积函数含绝对值记号。
例1:
解:当;当。
(分界点x=1处)
例2:
解:
例3:
解:

2、广义积分有推广的牛顿-莱布尼兹公式
(1)如果在上连续,,原函数在上连续,则仍有
(2)如果在上连续,的原函数适合存在记为则仍有。
例1:计算
解:①当时,在上,
。
②当时,是广义积分。
或者用推广的牛顿-莱布尼兹公式。
③当时,
=。
例2:
解:。
3、应用换元法时注意换元条件在上连续可导。有些不定积分的换元技巧在定积分的计算中失效。定积分由于积分区间的限制,求定积分不仅仅是求原函数问题。
例1:
分析:若令,而,在间断。
解:=+
=+=+=。
例2:
分析:若令,在间断。
解法一:(令=(令)
=
解法二:=
=+]
=+](第一个积分令,第二个积分令)
=
注:三角函数周期是而不是2时,常用代换而不用半角代换。
例3:
解:令时取,时取。
==
注:时若取,时取,则[]包含了(分母为0),所以不能这样取。同理,也不能取。但可以如下解
==(注意:在上。)
4、改变被积函数在某一点的值不影响积分值。
例:设,求
解:因在[0,3]上有界,且只有一个第一类间断点,所以存在。
,而在上连续,故
。
对于,若修改定义,则在[1,3]上也连续,且,故。
所以=+。
二、间接计算法(不直接求原函数而计算定积分)

例:(1)(原函数不容易求出,但几何意义明显)
(2)
(3)

(1) ,
(2) ,,
(3),.
例1:已知,求Fourier系数.
解:(具体计算).
或者考虑到为奇函数, .
例2:
解:
或者利用对称性,被积函数为偶函数,
故-.
例3:
解:
.

(1).
(2).
例1: I=
解:因I==,故2I=,I=。
注:类似的例子如I=(作代换,I=等。
例2:I=
解:因I==,
故2I=
==.
所以I=.
4、重要积分公式
==
=
例1:
解:令,则
==
=4.
例2:求与轴所围成弓形绕轴旋转得到的旋转体体积。
解:==(升幂)
=
=
===.
5、循环积分
(1)
(2)
例:I=
解:令则
I== =
所以,.
成本管理会计实****项目
(一)费用的归集与分配
1、【目的】练****直接材料费用的重量分配法
【资料】某厂大量生产的甲、乙、丙三种产品均由A材料构成其产品实体,本月三种产品共同耗用A材料400000元,三种产品的净重分别为4500千克、8500千克和7000千克。
【要求】采用重量分配法分配计算三种产品各应负担的A材料费用,完成A材料费用分配表(见表3-1)。
表 3-1 A材料费用分配表
****年***月单位:元
产品
产品净