数分选讲讲稿第22讲.doc

讲授内容
备注
第二十二讲
例15 设.
试证:与同时收敛,同时发散.
证,故或.
若,而
由判别法知,收敛.
从而由

知与同时收敛.
若则
,当时,有
而发散
.
同理
而发散. 所以发散.
于是发散.
综合,知,两个积分同时收敛,同时发散.
例16 讨论如下积分的敛散性:
1)
2)
3学时
3)
解 1)为非负函数的积分,用比较判别法.
由不等式
知时, 积分收敛.
从而收敛.
若时,积分发散,
由例16知发散,
从而发散.
2) 利用1)的结果及等式
可知,积分当且仅当时收敛.
3)时,
不是瑕点,敛散性与2)相同.
例17 证明如下积分收敛:
证设,积分
,绝对收敛
,条件收敛
其中,
由准则知,积分收敛.
三、无穷限的广义积分的收敛性与无穷远处的极限
本段讨论收敛与的关系.
1)收敛,一般不意味着
如: 收敛
但.
2)收敛,且,仍不能断言
如:
3)收敛,且,连续,还可能

如:
收敛.
4)上述条件,将改为,仍然不能肯定

如:
其中按3)中的同样的方式定义.
5)若单调,收敛,则.
6)若在上一致连续(或更强些,有有界的导数),则收敛,推出.
例18 试证:若在上一致连续,且广义积分
收敛,则.
证(反证法)若,则
,时,有.
又在上一致连续,
,,当时,有
故当时,
并且与同号(因为不然的话,,与(1)式矛盾)
若,则,从而由(2)式知,
故
必要条件
强调无穷积分与极限问题中准则的应用
同理,若,亦有
即对,,使得
由准则知,,证毕.
例19 证明:若在上连续可微,和都收敛,则.
证要证明时,由有极限,根据定理,
只要证明:,恒有收敛.
已知积分收敛,据准则
,,恒有
.
如此:,对上述,当时,

.
,存在极限
.
,则由极限的保号性
,当时,.
从而时,
与收敛矛盾.
同理可证:也不可能.
故.
例20 设在上单调减,且收敛.
试证明: .
,存在某,使,
则当时,恒有.
由在上单调减,必有.
从而发散,与已知结论5)矛盾.
其次,由收敛,据准则知,
,,当时,恒有
.
故,有
即.
例21 设收敛,在上单调下降,
证明: .
证收敛
由准则知,,,当时,恒有
.
故时,

即.
注:.由在上单调减,
,由在上单调减
,
而
即在上单调减.
.由在上单调减,收敛,
可推出.
练****题
计算;
;
,且当时,单调增趋于,则和都收敛.
:.
其中左,右积分存在,且.
,并满足
(1)在上存在有界导数
(2)
证明:.
成本管理会计实****项目
(一)费用的归集与分配
1、【目的】练****直接材料费用的重量分配法
【资料】某厂大量生产的甲、乙、丙三种产品均由A材料构成其产品实体,本月三种产品共同耗用A材料400000元,三种产品的净重分别为4500千克、8500