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闭区间上二次函数的最值问题
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二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。
一. 定二次函数在定区间上的最值
二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
解:函数是定义在区间[0,3]上的二次函数,其对称轴方程是,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上,如图1所示。函数的最大值为,最小值为。
图1
例2. 已知,求函数的最值。
解:由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。
图2
解后反思:已知二次函数(不妨设),它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m,n]上的最大值或最小值:
(1)当时,的最小值是的最大值是中的较大者。
(2)当时
若,由在上是增函数
则的最小值是,最大值是
若,由在上是减函数
则的最大值是,最小值是
二. 动二次函数在定区间上的最值
二次函数随着参数a的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例3. 已知,且,求函数的最值。
解:由已知有,于是函数是定义在区间上的二次函数,将配方得:
二次函数的对称轴方程是
顶点坐标为,图象开口向上
由可得,显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是,最大值是。
图3
例4. 已知二次函数在区间上的最大值为5,求实数a的值。
解:将二次函数配方得,其对称轴方程为,顶点坐标为,图象开口方向由a决定。很明显,其顶点横坐标在区间上。
若,函数图象开口向下,如图4所示,当时,函数取得最大值5
即
解得
故
图4
若时,函数图象开口向上,如图5所示,当时,函数取得最大值5
即
解得
故
图5
综上讨论,函数在区间上取得最大值5时,
解后反思:例3中,二次函数的对称轴是随参数a变化的,但图象开口方向是固定的;例4中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数a变化的。
三. 定二次函数在动区间上的最值
二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数t而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例5. 如果函数定义在区间上,求的最小值。
解:函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。
如图6所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有。当时,函数取得最小值
。
图6
如图7所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即。当时,函数取得最小值
。
图7
如图8所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即。当时,函数取得最小值
综上讨论,
图8
例6. 设函数的定义域为,对任意,求函数的最小值的解析式。
解:将二次函数配方得:
其对称轴方程为,顶点坐标为,图象开口向上
若顶点横坐标在区