【专题复习02】数列数列的极限与数学归纳法.doc

数列、数列的极限与数学归纳法
基础概念
复****策略
本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点.
高考对本章考查比较全面,等差、等比数列,,本章内容在文史类中分数占13%,理工类卷中分数占11%,由此可以看出数列这一章的重要性.
本章在高考中常见的试题类型及命题趋势:
(1)数列中与的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”,近几年命题严格按照《考试说明》,不要求较复杂由递推公式求通项问题.
(2)探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,.
(3)等差、,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题.
(4)求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.
(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所占的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.
通过上述分析,在学****中应着眼于教材的基本知识和方法,不要盲目扩大,应着重做好以下几方面:
理解概念,熟练运算
巧用性质,灵活自如
典型例题
【考点一:数列的通项与它的前项和】
例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1),43,47,53,61,71,83,97是一个由8个质数组成的数列,小王正确地写出了它的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,
满足小王得出的通项公式,但它不是质数,则________.
解析:
,,∴,
∴.显然当时有因数41,此时.
答案:1681
点评:
.
例2、已知等差数列中,,前10项之和是15,又记.
(1)求的通项公式;
(2)求;
(3)求的最大值.(参考数据:)
解析:
(1)由,得,
∴.
(2)

.
(3)解法一:,,由ln2=,计算,,所以极大值点满足,但,所以只需比较
与的大小:,,∴.
解法二:数列的通项,
令()(),
∴.
点评:
求时,也可先求出,这要正确理解“”,其中应处在的表达式中的位置.
例3、已知数列的首项,前项和为,且().
(1)证明数列是等比数列;
(2)令,求函数在点处的导数,并比较与的大小.
解析:
(1)由已知,∴时,.
两式相减,得,即,从而.
当时,,∴.
又,∴.从而.
故总有,.
又∵,∴.从而.
即是以为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知,∵,
∴.
从而



由上

当时,式,∴;
当时,式,∴;
当时,.
又,
∴,即式,从而.
【考点二:等差数列与等比数列】
例4、有()个正数,排成矩阵(行列的数表,如下图).
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足:
,,,
(1)求公比;
(2)用表示;
(3)求的值.
分析:
解答本题的关键首先是阅读理解,熟悉矩阵的排列规律,其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解.
解析:
(1)∵每一行的数列成等差数列.∴成等差数列.∴,.
又每一列的数成等比数列,,,∴,且,∴.
(2).
(3)∵第列的数成等比数列.
∴.
记,
则,
,
两式相减,得,
∴,即.
例5、已知,分别是轴,轴方向上的单位向量,,,且(),在射线()上从下到上依次有点,且().
(1)求;
(2)求,;
(3)求四边形面积的最大值.
解析:
(1)由已知,得,
.
(2)由(1)知,

.
∵且,均在射线上,.
∴
.
(3)四边形的面积为:.
又,的底边上的高为.
又,到直线的距离为.
∴,
而,
∴,
∴.
点评:
本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合,.
【考点三:数列的极限】
例6、给定抛物线,过原点作