浙大2005年数分考研试题及解答.doc

浙江大学2005年数学分析考研试题及解答
一、计算定积分。
解
,
;
由分部积分法,得
,
所以,
故。
二设在上Riemann可积,且,
计算。
解因为在上Riemann可积,所以在上有界,存在,使得,
,,
因为,
存在,当时,有,
于是,当充分大时,有
,
,
由题设条件
,
,
由夹逼定理,可知
故。
或者利用。
三设为实数,且,试确定的值,
使得。
解若,显然,这与矛盾,
所以。计算,利用洛必达法则,得
,
易知,
若,则
,
这与为实数矛盾,所以,
计算
,
故,,。
四设在上连续,且对每一个,存在,使得
,证明:存在,使得。
证明方法一由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于; 在利用在处连续及,即得,,结论得证.
方法二由于在上连续,设,利用条件可知,对任意,存在,满足,从而由,;进而有,;存在,使得;结论得证.
五(1)设在上连续,且收敛,证明:存在数列满足条件,;
(2)设在上连续,,且收敛,问是否必有,为什么。
(1)证明因为收敛,所以有,
由积分中值定理,存在,使得,
显然有,;
(2)不一定有,举一个例子:
例1
显然在上连续,,
,
但不存在。
设,尽管收敛,
但当时,不趋于0.
此例还给我们提供了一个重要例子:
在上递增有界,有有限的极限,在上连续可微且一致连续,但在上无界.
六、设在上具有二阶连续导数,
且已知和均为有限数,证明:
(1),对任何,均成立;
(2)也是有限数,并且满足不等式。
证明考虑在处Taylor展开,
,;
于是
,
从而;
(2)因为,对任何,均成立,取,
(若,则,结论自然成立;假若,则,矛盾)
所以,故也是有限数,并且满足不等式。
七设在上有定义,在任何有限区间上Riemann可积,
且收敛,证明:。
证明对任意,存在,使得,;
对上述,及固定的,由黎曼-勒贝格引理,
成立,
从而存在,当时,有;
,
故有。
八(1)将展开为幂级数,求收敛半径;
(2)利用(1)证明:;
(3)利用(2)中公式近似计算的值,需用多少项求和,误差不会超过。(为自然数)
解(1),,
所以,显然收敛半径,收敛区间为;
(2)在中,令,则有;
(3)对于误差的计算,取决于余项,由于,
不妨近似地用代替余项,
,所以, ,
所以至少计算项,这里是取整函数。
九、设是上径向函数,即存在一元函数,
使得,,若,
求满足的方程及函数。
解因为,,
,
,
由,得,
于是,从而,
由此,,这里均为常数,
故。
十、设,是周期为的函数(),且,利用Fourier级数展开证明,等号成立当且仅当存在常数,使得
或;
(2),,
所以,
利用格林公式,得

,
(3)将坐标看作是弧长的函数,
因为有,
所以,
令,是周期为的函数,由格林公式和(2)的结果,
可以得到下面的结论,
,
其中常数,满足,,
考虑
由(1)的结论
,
,
代入上式,则有
,
即,
于是,
等号成立存在常数,使得
,
,
且,
,