浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答.doc

浙江大学2000年数学分析考研试题及解答
一、(1)求极限;
解

;
或
。
(2)设,,求.
解由条件,得,
反复使用此结果
,;
于是
, ;
, ,
当时,;当时,不存在。
二、(1)设在可导,,
证明: .
证明由,得对任意,存在,当时,成立
;
因为,对上述及确定的,存在正整数,当时,
便有,,,
于是,,
从而
,即得,故有.
(2)设函数在上连续, 在内二阶可导, 则存在, 使得
.
证明:由于.
作辅助函数, 于是
.
在上对运用拉格朗日中值定理, , 使得
.
再在上对运用拉格朗日中值定理,
, 使得
.
三、(1)求幂级数的和,求级数的和。
解由于,由于,
所以的收敛半径;
为了求出它的和,对幂级数
,
逐项求导数,就有
,
因而
, 。
在上式中取,就得。
(2)、证明黎曼函数
在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。
(这种性质,也称为无穷次可微。)
证明令,
显然
,,
,
,
都在上连续;
对任何,当时,
,
,
,
而收敛,
所以,,,
()
都在上一致收敛,
故
在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。
由于是任意的,所以
在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。
显然在内非一致收敛,
在内不一致连续。
假若在内一致连续,
则有存在且有限,
在中令,取极限,得
,,矛盾。
四、(1)设方程组确定了可微函数试求。
解由
解出,;就可得.
(2)设,求。
解
,
.
五、若在[0,1]上连续,证明
;
由此计算.
证:作变量替换,有
.
解上述方程,就得到所证结论.
利用此公式可得:

于是
===.
(2)求以为顶,以为底,以柱面为侧面的曲顶柱体的体积。
解设,
则
。
(3)求曲面积分,
其中是半球面的上侧。
解记,(取下侧)
,则,
由高斯公式知,
。
六、(1)设是周期为的函数,且,;写出它的傅里叶级数.
(2)将,展开成Fourier级数,
(3)求的和;
(4)计算.
解(1) 由傅里叶系数的定义,注意到是偶函数,
,
用分部积分法计算
,
, ,
所以.
(2) 由(1)的结果及展开定理,容易知道
,;
(3)在上式中取得, ;
因为
,
所以。
(4)
,
由,
知对于任意
在上一致收敛于,
且,;
根据逐项积分定理,可以逐项积分,
,
又,
故
.
浙江大学2001年数学分析考研试题及解答
一、(1)用“语言”证明。
证明因为
,
,,

对任意给定的,
解不等式,得
,
只要取,
当时,便有
,
于是。
(2) 求极限。
解
,
由,
,
得。
(3)设,且,
求。
解由题设条件,知