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一、齐次线性方程组解的结构
二、一般线性方程组解的结构
§ 线性方程组
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一、  齐次线性方程组解的结构
1 解的性质
性质1 (1)的两个解的和还是(1)的解.
性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解.
性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解.
(1)
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2 解空间
所成集合,则
空间,称之为齐次线性方程组(1)的解空间.
设为齐次线性方程组(1)的全体解向量
即关于解的线性运算封闭,所以是一个向量
定义
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齐次线性方程组(1)一组解向量,
若满足
ii)(1) 的任一解向量可由线性表出.
i) 线性无关;
则称为(1)的一个基础解系.
3 基础解系
定义
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4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下,
它有基础解系,并且基础解系所含解向量的个数
等于,其中n是未知量的个数,
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证:
则(1)可改写成
若,
不妨设
(2)
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代入自由未知量,
也即(1)的个解
用组数
就得到(2)的解,
且满足:
①线性无关.
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事实上,若
②任取(1)的一个解
即
线性无关.
故
线性表出.
可由
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事实上,由是(1)的解,得
也为(1)的解,即
为(1)的解.
它与的最后个分量相同,
即自由未知量的值相同,所以它们为同一个解.
.
故
由①②知,
为(1)的一个基础解系.
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推论1 任一线性无关组的与(1)的某一基础解系
等价的向量组都是(1)的基础解系.
设为(1)的一个基础解系,
线性无关,且与等价,
且可由线性表出,
所以也为(1)的解向量
证:
则
任取(1)的一个解向量,
则可由
从而可由线性表出.
线性表出,
也是(1)的基础解系.
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