高等代数【北大版】4-3.ppt

一、矩阵乘积的行列式
二、非退化矩阵
§ 矩阵乘积的行列式
三、矩阵乘积的秩
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引入
行列式乘法规则
其中
则
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定理1 设为数域上的级矩阵,则
推广为数域上的级方阵,则
一、矩阵乘积的行列式
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定义
若,称为退化的.
若,则称为非退化的;
注: 级方阵非退化;
级方阵退化
设为数域上的级方阵,
二、非退化矩阵
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推论设为数域上的级矩阵,则
非退化都非退化
证:
退化或退化
非退化
且
都非退化.
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三、矩阵乘积的秩
定理2 设为数域上的矩阵,则
证:
令
设的行向量组为
的行向量组为
则向量组合
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即有
故可由线性表示.
所以.
同理,
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三、矩阵乘积的秩
定理2 设为数域上的矩阵,则
推广如果,则
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证明:
,且
证:
又由有
而
于是有
所以
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