高等代数【北大版】4-4.ppt

一、可逆矩阵的概念
二、可逆矩阵的判定、求法
§ 矩阵的逆
三、逆矩阵的运算规律
四、矩阵方程
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一、可逆矩阵的概念
定义
设A为n级方阵,如果存在n级方阵B,使得
AB=BA=E
则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵.
注:
①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的,记作
③单位矩阵 E 可逆,且
②可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵,且
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二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法
定义
1、伴随矩阵
称为A的伴随矩阵.
性质:
余子式,矩阵
设是矩阵中元素的代数
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证:由行列式按一行(列)展开公式
立即可得,
同理,
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非退化的),且
证:若由
所以,A可逆,且
两边取行列式,得
2、定理:矩阵A可逆当且仅当(即A
得
反过来,若A可逆,则有
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则A、B皆为可逆矩阵,且
证:
由定理知,A、B皆为可逆矩阵.
从而
再由
即有,
3、推论:设A、B为 n 级方阵,若
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例1
判断矩阵A是否可逆,若可逆,求其逆.
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解:1)
∴ A可逆.
再由
有
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∴当时,A可逆.
且由于
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三、逆矩阵的运算规律
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