高等代数【北大版】5.3.ppt

第五章二次型
§ 二次型的矩阵表示
§ 标准形
§ 唯一性
§ 正定二次型
章小结与****题
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一、复数域上的二次型的规范形
二、实数域上的二次型的规范形
三、小结
§ 唯一性
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§ 唯一性
问题的产生:
1、二次型的标准形不是唯一的,与所作的非退化
线性替换有关.
如:二次型
作非退化线性替换
得标准形
得标准形
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§ 唯一性
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.
而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.
∵若
作非退化线性替换
化为标准形
,则有
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§ 唯一性
3. 问题:
如何在一般数域P上,进一步“规范”平方项非零系数的形式?(这样产生了唯一性的问题)
定义
二次型的秩等于矩阵A的秩,
即秩 f =秩(A).
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§ 唯一性
、复数域上的二次型的规范形
复二次型的规范形的定义
标准形
再作非退化线性替换
设复二次型
经过非退化线性替换
可逆, 得
这里
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§ 唯一性
则
称之为复二次型
的规范形.
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§ 唯一性
注意:
①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.
②复二次型的规范形是唯一的,由秩 f 确定.
2.(定理3)任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化为规范形,且规范形唯一.

、B合同
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§ 唯一性
二、实数域上的二次型的规范形
再作非退化线性替换
实二次型的规范形的定义
设实二次型
经过
可逆,得标准形
非退化线性替换
其中,
r = 秩 f
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§ 唯一性
则
称之为实二次型的规范形.
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§ 唯一性