《电动力学第三版》chapter2s静电场的标势及其微分方程教学讲义.ppt

第二章
静电场
静止电荷产生的场——静电场.
§ 静电场的标势及其微分方程
1. 静电场的标势
静电场是无旋场,故可引入标量场,静电势
取无穷远点电势为零
2. 静电势的微分方程和边值关系
静电场的问题求解下列方程问题
有导体时的边值问题
在静止情况下, 导体的静电平衡条件为
(1)导体内部不带电,电荷只能分布于导体表面上;
(2)导体内部电场为零;
(3)导体表面上电场沿法线方向, .
导体表面的边界条件为
3. 静电场能量
在线性介质中静电场的总能量为
仅对静电场成立,/2不代表能量密度.
1/r, D 1/r2,面积r2,r
电荷分布所激发的电场总能量
1. 静电问题的唯一性定理
唯一性定理:设区域V内给定自由电荷分布,在边界S上给定
(i)电势
或
(ii)电势的法向导数,
则V内的电场唯一地确定. 也就是说,在V内存在唯一的解,它在每个均匀区域内满足泊松方程,在两均匀区域分界面上满足边值关系,并在V的边界S上满足给定的或/n值.
§ 唯一性定理
§ 分离变量法解拉普拉斯方程
泊松方程
产生电场的电荷分布在区域的边界上, 其作用通过边界条件反映出来. 这类问题的解法是求解拉普拉斯方程的满足边界条件的解.
拉普拉斯方程
球坐标系下拉普拉斯方程的通解:
若系统具有轴对称性,取对称轴为z轴,
唯一性定理
具有边界条件的泊松方程求解是很困难的.
电场分布
区域内只有一个或几个点电荷,区域边界是导体或介质界面时求解电场分布的一种特殊方法--镜像法.
尝试解
Q
Q’
+
+
+
+
点电荷Q的映像
代换满足边界条件
代换没有改变电荷分布
泊松方程不变
假想电荷代替感应电荷分布
问题解决
§ 镜像法
电荷为Q的点电荷密度:
函数应具有下面性质:
函数的选择性质:
§ 格林函数
1. 点电荷密度的函数表示