高等代数【北大版】6.3.ppt

§2 线性空间的定义
与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§7 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§6 子空间的交与和
小结与****题
第六章线性空间
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一、线性空间中向量之间的线性关系
二、线性空间的维数、基与坐标
§ 维数· 基与坐标
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§ 维数基坐标
引
入
即线性空间的构造如何?
怎样才能便于运算?
问题Ⅰ
如何把线性空间的全体元素表示出来?
这些元素之间的关系又如何呢?
(基的问题)
问题Ⅱ
线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西
—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达?
(坐标问题)
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§ 维数基坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
(1)
和式
的一个线性组合.
称为向量组
(2)
,若存在
则称向量可经向量组线性表出;
使
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§ 维数基坐标
若向量组中每一向量皆可经向量组
线性表出,则称向量组
可经向量组线性表出;
若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组
为等价的.
(3)
,若存在不全为零的数
,使得
则称向量组为线性相关的;
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§ 维数基坐标
(4)如果向量组不是线性相关的,即
只有在时才成立,
则称为线性无关的.
(1)单个向量线性相关
单个向量线性无关
向量组线性相关
中有一个向量可经其余向量线性表出.
2、有关结论
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§ 维数基坐标
(2)若向量组线性无关,且可被
向量组线性表出,则
若与为两线性无关的
等价向量组,则
(3)若向量组线性无关,但向量组
线性相关,则可被向量组
线性表出,且表法是唯一的.
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§ 维数基坐标
因为,对任意的正整数 n,都有 n 个线性无关的
向量
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,
则称 V 是无限维线性空间.
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
无限维的.
1,x,x2,…,xn-1
二、线性空间的维数、基与坐标
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§ 维数基坐标
2、有限维线性空间
n 维线性空间;常记作 dimV= n .
(1)n 维线性空间:
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量,但是
任意 n+1 个向量都是线性相关的,则称 V 是一个
注:零空间的维数定义为0.
dimV= 0 V={0}
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§ 维数基坐标
在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量
(2)基
,称为 V 的一组基;
下的坐标,记为
(3)坐标
设为线性空间 V 的一组基,
则数组,就称为在基
若
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§ 维数基坐标