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高等代数【北大版】6.5.ppt


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文档列表 文档介绍
§2 线性空间的定义
与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§7 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§6 子空间的交与和
小结与****题
第六章线性空间
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一、线性子空间
二、生成子空间
§ 线性子空间
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§ 线性子空间
一、线性子空间
1、线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间,集合
若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,
则称W为V的一个线性子空间,简称为子空间.
注:①线性子空间也是数域P上一线性空间,它也
②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的
有基与维数的概念.
维数.
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§ 线性子空间
2、线性子空间的判定
,若W对于V中两种运算封闭,即
则W是V的一个子空间.
定理:设V为数域P上的线性空间,集合
推论:V为数域P上的线性空间,

W是V的子空间
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§ 线性子空间
∵,∴. 且对,
由数乘运算
封闭,有
,即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素,4)成立.
就是V中的零元, 3)成立.
由于
,规则1)、2)、5)、6)、7)、8)
)、4)成立.
由加法封闭,有,即W中的零元
证明:要证明W也为数域P上的线性空间,
即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则.
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§ 线性子空间
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间.
例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间.
例1 设V为数域P上的线性空间,只含零向量的
子集合是V的一个线性子空间,称之为V的
.
这两个子空间有时称为平凡子空间,而其它的
子空间称为非平凡子空间.
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§ 线性子空间
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
①(*)的解空间W的维数=n-秩(A), ;
例4 n元齐次线性方程组
(*)

②(*)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
空间,称W为方程组(*)的解空间.
量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子
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§ 线性子空间
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间:
解:W1 、W3是Pn的子空间, W2不是Pn的子空间.
若为Pn的子空间,求出其维数与一组基.
事实上,W1 是n元齐次线性方程组
的解空间. 所以,维W1 =n-1,①的一个基础解系

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§ 线性子空间
就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量,设

故W2不是Pn的子空间.
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§ 线性子空间
故,W3为V的一个子空间,且维W3 =n-1 ,
则有
其次,

下证W3是Pn的子空间.
就是W3的一组基.
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§ 线性子空间

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  • 时间2018-08-19