高等代数【北大版】6.7.ppt

§2 线性空间的定义
与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§7 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§6 子空间的交与和
小结与****题
第六章线性空间
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§ 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定
三、多个子空间的直和
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§ 子空间的直和
引入
有两种情形:
由维数公式
设为线性空间V的两个子空间,
此时
即, 必含非零向量.
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§ 子空间的直和
情形2)是子空间的和的一种特殊情况
直和
此时
不含非零向量,即
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§ 子空间的直和
一、直和的定义
设为线性空间V的两个子空间,若和
是唯一的,和就称为直和,记作
注:
若有
则
①分解式唯一的,意即
中每个向量的分解式
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§ 子空间的直和
②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中
都成立.
例如,R3的子空间
这里,
在和中,向量的分解式不唯一,如
所以和不是直和.
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§ 子空间的直和
而在和中,向量(2,2,2) 的分解式是唯一的,
事实上,对
故是直和.
都只有唯一分解式:
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§ 子空间的直和
二、直和的判定
分解式唯一,即若
1、(定理8) 和是直和的充要条件是零向量
则必有
证:必要性.
是直和,
的分解式唯一.
而0有分解式
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§ 子空间的直和
充分性.
故是直和.
设,它有两个分解式
有
其中
于是
由零向量分解成唯一,且
即
的分解式唯一.
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§ 子空间的直和
2、和是直和
则有
即
是直和.
“”任取
证:“”若
于是零向量可表成
由于是直和,零向量分解式唯一,
故
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§ 子空间的直和