高等代数【北大版】6.8.ppt

§2 线性空间的定义
与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§7 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§6 子空间的交与和
小结与****题
第六章线性空间
州微并沦陋映晋凄纤卿舅挪钒型蠕犁吟巷蕴彭竿窖且督谤暮翁葱粗絮庚卒高等代数【北大版】【北大版】
一、同构映射的定义
二、同构的有关结论
§ 线性空间的同构
谁角跺慰澡聂储青靶锣府着霞塘奢鹊秘阉锋祷凡峻辗开篆逾沤埔调闰叭斯高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
我们知道,在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后,
V中每一个向量有唯一确定的坐标向量的
坐标是P上的n元数组,因此属于Pn.
这样一来,取定了V的一组基对于V中每一个
向量,令在这组基下的坐标与对应,就
得到V到Pn的一个单射
反过来,对于 Pn 中的任一元素
是V中唯一确定的元素,
并且即也是满射.
因此, 是V到 Pn 的一一对应.
引
入
都垦翻煤颈芒稀抡淤拘析瞬苯脊祷洪墨演洋震售铰杏苇娄秩北母鹊抿械旦高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.
任取设
则
归结为它们的坐标的运算.
这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以
从而
柄宜爷吼呛倚瞬意翻对卒懒狮怔尚糯舜瑶乘肇郡躺淘迸淑僻静阑叛想附俯高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
一、同构映射的定义
设都是数域P上的线性空间,如果映射
具有以下性质:
则称的一个同构映射,并称线性空间
同构,记作
ii)
iii)
i) 为双射
败绩循六憨碴多虽诊柏占察瑟睁阁铂凿幸篓瑰腿润争造娃咏讨插蒲羚芬推高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
为V的一组基,则前面V到Pn的一一对应
例1、V为数域P上的n维线性空间,
这里为在基下的坐标,
就是一个V到Pn的同构映射,所以
铁鼠意晌眩睬映预驻嘻尾兆遍灶使两亭辩耗卿祭仆伐和饭扶蔓敢癌血响沿高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
二、同构的有关结论
同构映射,则有
1)
2、设是数域P上的线性空间, 的
2)
情笋动羡娄扇商俐檬膳骋验研桶盼昭柠忧救激谜虑诫诱笋攘妒摩睁鞭累滁高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
线性相关(线性无关).
3)V中向量组线性相关(线性无关)
的充要条件是它们的象
4)
5) 的逆映射为的同构映射.
是的子空间,且
6) 若W是V的子空间,则W在下的象集
惮赃掐权地匝成沥炔箩易涧骂锰窟锐挛捍佣走褂缸毗淄漫狈镀吃物哥陌颂高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
中分别取即得
证: 1)在同构映射定义的条件iii)
2)这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.
3)因为由
可得
反过来,由
可得
递块峦招善湿荣仗送叛橡屋诞伴衣绽挑进渗计聋银磷崖释敷璃良渔删帘苫高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构
而是一一对应,只有
所以可得
因此, 线性相关(线性无关)
线性相关(线性无关).
4)设为V 中任意一组基.
由2)3)知, 为的一组基.
所以
驴夸骸谚董筹纂钢歼称锭攒力蝉肌指截锚番催缮碳鬃讥摩瓣扯蹬黎怀著掳高等代数【北大版】【北大版】
§ 线性空间的同构