高等代数【北大版】7.3.ppt

§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
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一、线性变换与基
二、线性变换与矩阵
§ 线性变换的矩阵
三、相似矩阵
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§ 线性变换的矩阵
一、线性变换与基
的线性变换. 则对任意存在唯一的一组数
, 为V
使
从而,
由此知, 由完全确定.
一组基在下的象即可.
所以要求V中任一向量在下的象,只需求出V的
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§ 线性变换的矩阵
, 为
V的线性变换,若
则
由已知,即得
由此知,一个线性变换完全由它在一组基上的作
用所决定.
证:对
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§ 线性变换的矩阵
证:
定义
都存在线性变换使
任意n个向量
,对V中
易知为V的一个变换,下证它是线性的.
任取设
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§ 线性变换的矩阵
则
于是
为V的线性变换.
又
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§ 线性变换的矩阵
由2与3即得
定理1 设为线性空间V的一组基,
对V中任意n个向量存在唯一的线性
变换使
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§ 线性变换的矩阵
设为数域P上线性空间V的一组基,
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
用矩阵表示即为
二、线性变换与矩阵

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§ 线性变换的矩阵
其中
②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵;
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵;
① A的第i列是在基下的坐标,
矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.
注:
它是唯一的. 故在取定一组基下的矩阵是唯一的.
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵;
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§ 线性变换的矩阵
例1. 设线性空间的线性变换为
求在标准基下的矩阵.
解:
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§ 线性变换的矩阵