高等代数【北大版】7.6.ppt

§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6 线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
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一、值域与核的概念
二、值域与核的有关性质
§ 线性变换的值域与核
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§ 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1:设是线性空间V的一个线性变换,
集合
称为线性变换的值域,也记作或
集合
称为线性变换的核,也记作
注: 皆为V的子空间.
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§ 线性变换的值域与核
事实上, 且对
有
即对于V的加法与数量乘法封闭.
为V的子空间.
再看
首先,
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§ 线性变换的值域与核
又对有从而
即
故为V的子空间.
对于V的加法与数量乘法封闭.
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§ 线性变换的值域与核
定义2:线性变换的值域的维数称为的秩;
的核的维数称为的零度.
例1、在线性空间中,令
则
所以D的秩为n-1,D的零度为1.
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§ 线性变换的值域与核
1. (定理10) 设是n 维线性空间V的线性变换,
是V的一组基, 在这组基下的矩阵是A,
则
1) 的值域是由基象组生成的子空间,即
2) 的秩=A的秩.
二、有关性质
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§ 线性变换的值域与核
即
又对
证:1) 设
于是
有
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§ 线性变换的值域与核
因此,
的秩,又
∴秩=秩
等于矩阵A的秩.
2)由1), 的秩等于基象组
由第六章§5的结论3知, 的秩
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§ 线性变换的值域与核
2. 设为n 维线性空间V的线性变换,则
的秩+ 的零度=n
即
证明:设的零度等于r ,在核中取一组基
并把它扩充为V的一组基:
生成的.
由定理10, 是由基象组
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§ 线性变换的值域与核