高等代数【北大版】7.7.ppt

§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
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一、不变子空间的概念
二、线性变换在不变子空间上的限制
§ 线性变换的定义
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
四、线性空间的直和分解
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§ 不变子空间
设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的
的子空间,若有
则称W是的不变子空间,简称为-子空间.
V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一
个变换来说,都是-子空间.
一、不变子空间
1、定义
注:
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§ 不变子空间
1)两个-子空间的交与和仍是-子空间.
2)设则W是-子空间
证: 显然成立.
任取设
则
故W为的不变子空间.
2、不变子空间的简单性质
由于
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§ 不变子空间
1)线性变换的值域与核都是的
不变子空间.
证:
有
故为的不变子空间.
又任取有
3、一些重要不变子空间
也为的不变子空间.
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§ 不变子空间
2)若则与都是-子空间.
证:
对存在使
于是有,
为的不变子空间.
其次,由
对有
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§ 不变子空间
于是
故为的不变子空间.
的多项式的值域与核都是的不变子空间.
这里为中任一多项式.
注:
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§ 不变子空间
4)线性变换的特征子空间是的不变子空间.
有
5)由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.
证:设是的分别属于特征值
的特征向量.
3)任何子空间都是数乘变换的不变子空间.
任取
设
则
为的不变子空间.
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§ 不变子空间
事实上,若
则为的一组基.
因为W为-子空间,
即必存在使
是的特征向量.
特别地,由的一个特征向量生成的子空间是一
个一维-子空间.
反过来,一个一维-子空间
必可看成是的一个特征向量生成的子空间.
注:
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§ 不变子空间
二、在不变子空间W引起的线性变换
定义:
不变子空间W上的限制. 记作
在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在
设是线性空间V的线性变换,W是V的一个的
不变子空间. 把看作W上的一个线性变换,称作
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§ 不变子空间