高等代数【北大版】8.3.ppt

§2 λ-矩阵的
标准形
§3 不变因子
§1 λ-矩阵
§4 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形
的理论推导
§5 矩阵相似的条件
小结与****题
第八章λ─矩阵
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一、行列式因子
二、不变因子
§ 不变因子
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§ 不变因子
1. 定义:
一、行列式因子
注:
阶行列式因子.
的首项系数为1的最大公因式称为的
中必有非零的级子式, 中全部级子式
设-矩阵的秩为,对于正整数,
若秩,则有个行列式因子.
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§ 不变因子
行列式因子.
1) (定理3)等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
(即初等变换不改变-矩阵的秩与行列式因子)
证:只需证, -矩阵经过一次初等变换,秩与行
列式因子是不变的.
2. 有关结论
设经过一次初等变换变成, 与
分别是与的 k 级行列式因子.
下证,分三种情形:
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§ 不变因子
级子式反号.
公因式,
此时的每个级子式或
者等于的某个级子式,
或者与的某个
因此, 是的级子式的
①
从而
②
级子式的 c 倍.
者等于的某个级子式,或者等于的某个
此时的每个级子式或
因此, 是的级子式的
公因式,
从而
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§ 不变因子
此时中包含两行
级子式相等;
③
的和不包含行的那些级子式与中对应的
中包含行但不包含行的级
子式,按行分成的一个级子式与另一个
级子式的倍的和,
即为的两个级子式
从而
的组合,
因此是的级子式的公因式,
同理可得,
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§ 不变因子
2)若矩阵的标准形为
其中为首1多项式,且
则的级行列式因子为
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§ 不变因子
证: 与等价,
完全相同,则这个级子式为零.
在中,若一个级子式包含的行、列指标不
与有相的秩与行列式因子.
级子式
所以只需考虑由行与列组成的
即
而这种级子式的最大公因式为
所以, 的级行列式因子
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§ 不变因子
证:设矩阵的标准形为
3)(定理4) 矩阵的标准形是唯一的.
其中为首1多项式,且
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§ 不变因子
于是
即由的行列式因子所唯一确定.
由2), 的级行列式因子为
4)秩为的矩阵的个行列式因子满足:
所以的标准形唯一.
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§ 不变因子