高等代数【北大版】9.2.ppt

§2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§1 定义与基本性质
§6 对称矩阵的标准形
§8酉空间介绍
§7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
小结与****题
第九章欧氏空间
§5 子空间
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一、正交向量组
§ 标准正交基
二、标准正交基
三、正交矩阵
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设V为欧氏空间,非零向量
①若则是正交向量组.
②正交向量组必是线性无关向量组.
一、正交向量组
定义:
如果它们两两正交,则称之为正交向量组.
注:
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证:设非零向量两两正交.
令
则
由知
故线性无关.
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④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组.
例如: 中
线性无关.
但不是正交向量组.
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1. 几何空间中的情况
在直角坐标系下
是由单位向量构成的正交向量组,即
二、标准正交基
是的一组基.
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设
①从
②
③
得
④
即在基下, 中的与内积有关的度量性质有
简单的表达形式.
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维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组
称为正交基;
2. 标准正交基的定义
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注:
①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准
正交基.
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②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基
③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基
当且仅当其度量矩阵
(1)
④维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设为V的一组标准正交基,则
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(i) 设
由(1) ,
(ii)
(3)
这里
(iii)
有
(2)
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