高等代数【北大版】9.5.ppt

§2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§1 定义与基本性质
§6 对称矩阵的标准形
§8酉空间介绍
§7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
小结与****题
第九章欧氏空间
§5 子空间
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一、正交子空间
§ 子空间
二、子空间的正交补
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一、欧氏空间中的正交子空间
:
1) 与是欧氏空间V中的两个子空间,如果对
则称子空间与为正交的,记作
则称向量与子空间正交,记作
恒有
2) 对给定向量如果对恒有
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注:
①当且仅当中每个向量都与正交.
②
③当且时,必有
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证明:设子空间两两正交,
.
要证明
中零向量分解式唯一.
只须证:
设
由内积的正定性,可知
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二、子空间的正交补
:
如果欧氏空间V的子空间满足并且
则称为的正交补.
2. 维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补.
证明:当时,V就是的唯一正交补.
当时, 也是有限维欧氏空间.
取的一组正交基
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由定理1,它可扩充成V的一组正交基
记子空间
显然,
又对
即为的正交补.
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