高等代数【北大版】9.7.ppt

§2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§1 定义与基本性质
§6 对称矩阵的标准形
§8酉空间介绍
§7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
小结与****题
第九章欧氏空间
§5 子空间
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一、向量到子空间的距离
§ 向量到子空间的距离
二、最小二乘法
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向量间的距离
长度称为向量和的距离,
基本性质
(i)
(ii) 并且仅当的等号才成立;
(iii)(三角形不等式)
一、向量到子空间的距离
定义
记为
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(1) 设为一固定向量,如果与子空间中
每个向量垂直, 称垂直于子空间记作
如果则
注:
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(2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.
如图示意,对给定,设是中的满足
的向量,则
对有
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因是子空间,
则
由勾股定理
证明:
故
所以
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二、最小二乘法
问题提出:
实系数线性方程组
(1)
即任意都可能使
(2)
不等于零.
可能无解,
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设法找实数组使(2)最小,
这样的为方程组(1)的最小二乘解,
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
(3)
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用距离的概念,(2)就是
由(3), 设则
要找使(2)最小,等价于找子空间
中向量使到它的距离比到
中其它向量的距离都短.
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设
这等价于
(4)
即
这样(4)等价于
(5)
为此必
或
这就是最小二乘解所满足的代数方程.
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