有限元法解圆柱绕流报告.docx

有限元法解圆柱绕流
计算流体力学期末大作业
工学院熊思 00986080
2012/6/3
【摘要】
有限元法是求解计算流体力学问题的重要方法。用有限元法求解具体问题时,首先需要将求解区域进行离散化,即将求解区域划分为许多几何形状简单规则的单元,在二维一般是三角形或四边形,在三维是四面体或六面体。然后,在每个单元内,用一个比较简单的解析函数来逼近微分方程的解,此函数在单元内用一组选定的单元基函数的线性组合表示,而其中的系数通常是节点参数,它是待定的。这样,每个单元只要有适当数量的节点参数值,就可以满足对插值函数的光滑性和精度的要求。第三,在满足微分方程和相应的初边值条件下,对全部子域进行积分。对每个单元分别进行积分,形成“单元方程”,通过总体合成,得到总体有限元方程组。最后,用适当的方法解方程组,可得节点参数值,进而可求得各单元内的近似解。本文将以圆柱绕流问题为例,展示有限元法求解的一般步骤。

有限元法(finite element method)是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中,这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系。
有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年,Turner、Clough等人在分析飞机结构时,将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题,给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年,Clough进一步处理了平面弹性问题,并第一次提出了"有限单元法",使人们认识到它的功效。
自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余量法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程。具体而言,参考差分法中网格化的做法,把求解区域划分为有限多子区域,称这些子区域为单元,在每个单元上构造解的近似分布,将Ritz 法或加权余量法应用到分块的逼近函数上。因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。实质上,有限元法就是Ritz 法或加权余量法。

考虑位于两块无限长平板间的圆柱体的平面绕流问题,几何尺寸如下图所示,来流为vx=1,vy=0。由于流场具有上下左右的对称性,只考虑左上角四分之一的计算区域abcde,
把它作为有限元的求解区域Ω。要求求解出整个区域中的流函数、vx、vy以及压强值。

,取ψ=0,∂φ∂n=0;
,同样取ψ=0,∂φ∂n=0;
,切向速度vτ=0,∂ψ∂n=0,取φ=0;
,满足ψe=ψa+aevxdy=02dy=2
于是在ed上,ψ=2,∂φ∂n=0;
,ψ=ψa+ayvxdy=y(本文中采取此条件)
也可以提自然边界条件∂ψ∂n=0,∂φ∂n=vx=1
我们以流函数ψ作为未知函数来解此问题,流函数所满足的微分方程如下:
∇2ψ=0 ψ|Γ1=ψ(本质边界条件)∂ψ∂n|Γ2=-vs(自然边界条件)(1)
此处Γ1指ab,bc,de和ae四段边界,而Γ2就是就是cd 段边界,且切向速度vs= 0,Γ1 和Γ2 合起来是整个边界,并且此二者不重合。下面,按有限元方法的一般步骤来计算此问题。


根据求解问题的基本控制方程,应用变分法或加权余量法将求解的微分方程定解问题
化为等价的积分表达式,作为有限元法求解问题的出发方程式。
对于方程(1),它是一椭圆型方程,具有正定性,可以用变分法,这里直接给出泛函
J(ψ)=12Ω∇ψ∙∇ψdΩ+Γ2vsψdΓ=0(2)
令其变分δJ=0,可以得到
Ω∇ψ∙∇δψdΩ+Γ2vsδψdΓ=0(3)
自然边界条件已经包含在变分表达式中(其名称的由来),而本质边界条件必须强制ψ满足(因此称其为本质边界条件,也称为强制边界条件)。
如果根据原微分方程中无法给出泛函J,则可以用Galerkin 加权余量方法得到积分方程,这相当于将原来的微分方程写为如下变分形式:
Ω△ψδψdΩ=0(4)
这里的δψ是函数ψ的改变量,是一种“虚位移”,在本质边界条件Γ1上为零。因此,上式做分部积分后,边界积分仅剩下Γ2的部分。具体为
Ω∇ψ∙∇δψdΩ+Γ2vsδψdΓ=0(5)
即(3)式。
可见,如果ψ满足原来的微分方程和边界条件,那么,必然有ψ满足(4) 式,进而满足(5)