理论部分
约束最优性条件
等式约束问题
一阶必要条件
定理1:
若
(1)
是等式约束问题的局部最优解;
(2)
与
在
的某邻域内
连续可微;
(3)
线性无关;
则存在一组不全为零的实数
使得:
二阶充分条件
定理2:
对等式约束问题,若:
(1)
与
是二阶连续
可微函数;
(2)
与
使:
(3)
且
且
均有
则
是等式约束问题的严格局部极小点.
不等式约束问题
定义1:
有效约束:
若(2)中的一个可行点
使得
某个不等式约束
变成等式,
即
则
称为关于
的有效约束.
非有效约束:
若对
则
称为
关于
的非有效约束.
有效集:
定义2:
锥:
的子集,
如果它关于正的数乘运算
是封闭的.
如果锥也是凸集,则称为凸锥.
凸锥关于加法和正的数乘运算是封闭的.
定理3:
在(2)中,假设:
(1)
为(2)的局部最优解且
(2)
与
在
点可微;
(3)
在
点连续;
则
与
交为空.
例1:
确定:
在点
处的可行下降方向.
解:
设
一阶必要条件
定理4:
(Fritz-John一阶必要条件)(1948)
设
为问题(2)的局部最优解且
在
点可微,
则存在非零向量
使得:
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