线性代数的一些证明题.doc

线性代数的一些证明题.doc线性代数一些证明题
1
题目
设n阶可逆矩阵A满足A=A,求A的特征值。
知识点
特征值与特征向量
矩阵的行列式
解题过程
解:因为A=A
所以A-A=0
所以det(A-A)=det[A(A-E)]=det(A)det(A-E)=0
A为可逆矩阵,所以det(A)≠0
所以det(A-E)=0
所以A的特征值为1.
常见错误
设存在λ,使Ax=λx成立
则 det(Ax)=det(A)det(x)
=det(x)
=det(x) (错误在于向量取行列式)
所以有成立.
又因为A=A
det(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.
由于A为可逆矩阵,det(A)≠0.
所以 det(A)=1

当n为奇数时,λ=1.
当n为偶数时,λ=1.
相关例题
设A为n阶矩阵,若A=E,试证A的特征值是1或-1.
2题目
设A是奇数阶正交矩阵,且det(A)=1,证明det(E-A)=0.
知识点
①正交矩阵的定义:AA=E
②单位矩阵的性质:EA=AE=A E=E
③矩阵运算规律
④转置矩阵的性质:(A+B)=A+B
⑤det(A)=det(A)
⑥det(AB)=det(A)det(B)
⑦det(-A)=(-1)det(A)
解题过程
∵A是正交矩阵
∴E-A= AA-A= AA-EA=( A-E)A
∵det(A)=1
∴det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)
∵det(E-A)=det(E-A)=det(E-A)
∴det(A-E)= det(E-A)= det(-(A-E))= (-1) det(A-E)
∵n为奇数
∴(-1)= -1
∴det(A-E)=0
∴det(E-A)=0
常见错误
①误以为det(E-A)= det(E)- det(A),于是det(E-A)=1-det(A)=1-1=0
②∵det(A)=1
∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).
∴det(E-A)=(1-)(1-)…(1-).
∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)
且det(A-E)= (-1)(-1)…(-1).
∴(1-)(1-)…(1-)=(-1)(-1)…(-1)
= (-1)(1-)(1-)…(1-)
∵n为奇数
∴(-1)= -1
∴(1-)(1-)…(1-)=0
∴det(E-A)=0
以上证法先把A变为上三角,再用E减去变化后的A,再求行列式,这是错误的。
相关例题
证明:若A为正交矩阵,则det(A)=±1.
3
题目
试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
(1)

知识点线性方程组解的结构
解题过程
解:B=

(1)当a—b0,且a0时,rank(B)=3,增广矩阵的秩也等于3,而且等于未知数的个数,故方程组(1)有唯一解。其解为:

(2)当a-b=0,且a0时,rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小于未知数的个数,此时故方程组(1)有无穷多解。
其解可由,解得,代入第一个方程得到;
一般解为:
(3)当a=0,b 为任意数,
此时增广矩阵可化为:
可见,rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3,所以方程组(1)无解,
常见错误
在讨论带参数的线性方程时,尽管初等变换结果正确,也会产生讨论不全的错误。
如,当ab时,就说原方程有唯一解,没有指出a0,当a=b时,就说原方程组有无穷多解,没有指出a=b0,等等。
相关例题
确定a,b的值,使下列方程组

有唯一解;
无解;
有无穷多解,并求出通解。
4
题目
若线性无关,,其中全不为0. 证明线性无关.
知识点向量线性相关
解题过程
证法一:(从定义出发)
设存在常数,使得
已知,代入上式,得
化为:
由题意知:线性无关
由定义,知线性无关
证毕
证法二:(由初等列变换,秩相等)
由于初等变换不改变矩阵的秩,所以由线性无关,知
的秩为3,所以秩也为3,推出线性无关
证法三:(反证法)
假设线性相关.
则存在不全为0的常数,使得
已知,代入上式,得
化为:
(否则,由得)
即线性相关, 与题目已知条件矛盾.
所以假设不成立, 即线性无关.
5
题目
设是的解且线性无关,,试证的任一解可表示为
,
其中
知识点基础解系方程组解的结构
解题过程
证明
由
因为线性无关,所以